全国2022年初中数学联合竞赛试题（含解析）　一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）．1．（7分）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（　　）　A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b　2．（7分）若m2=n+2，n2=m+2，（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为（　　）　A．1B0C．﹣1D．﹣2　3．（7分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，并设M=|a+b+c|﹣|a﹣b+c|+|2a+b|﹣|2a﹣b|，则（　　）　A．M＞0B．M=0　C．M＜0D．不能确定M为正、为负或为0　4．（7分）直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC=90°，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（　　）　A．18B．20C．22D．24　5．（7分）如图，⊙Ol与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol与⊙O2的半径之比为（　　）　6．（7分）如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（　　）10　A．1B．2C．3D．4　二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7．（7分）已知a＜0，ab＜0，化简=　_________　　8．（7分）如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为　_________　．9．（7分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有　_________　件．　10．（7分）设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有　_________　对．　第二试一．（20分）已知a、b、c满足方程组，试求方程bx2+cx﹣a=0的根．　二．（25分）如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P′是P关于直线RQ的对称点，证明：P′在△ABC的外接圆上．10　三．（25分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．　　一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（　　）　A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b　2．（7分）若m2=n+2，n2=m+2，（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为（　　）　A．1B．0C．﹣1D．﹣2　103．（7分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，并设M=|a+b+c|﹣|a﹣b+c|+|2a+b|﹣|2a﹣b|，则（　　）　A．M＞0B．M=0　C．M＜0D．不能确定M为正、为负或为0　4．（7分）直角三角形ABC的面积为120，且∠BAC=90°，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，则△AFE的面积为（　　）　A．18B．20C．22D．2410　5．（7分）如图，⊙Ol与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙Ol与⊙O2的半径之比为（　　）A2：5B．1：2C．1：3D．2：3　10　6．（7分）如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（　　）　A．1B．2C．3D．4C二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）107．（7分）已知a＜0，ab＜0，化简=　　[　8．（7分）如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为　2（π+6）r　．9．（7分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有　12　件．　10．（7分）设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有　27　对．10　第二试三、解答题（共3小题，满分70分）一．（20分）已知a、b、c满足方程组，试求方程bx2+cx﹣a=0的根．　二．（25分）如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC相交于Q，R两点，又P′是P关于直线RQ的对称点，证明：P′在△ABC的外接圆上．10　三．（25分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．10　10