全国1997年初中数学联合竞赛试题（含解析）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．下述四个命题(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1；(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形(3)a2的平方根是±｜a｜；(4)大于直角的角一定是钝角其中错误的命题有（）A．1个B2个C．3个D．4个2.已知,则满足上述条件的整数x的个数是（）A．4.B．5C．6D．73．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2=9，代数式（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2的最大值是（）A．27B．18C．15D．124．给定平面上n个点，已知1，2，4，8，16，32都是其中两点之间的距离，那么点数n的最小可能值是（）A．4.B．5.C．6D．75．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF之值为（）A.4B.C.5D.6.6．如图：已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP＋PB等于（）A．12B．13C．14D．15二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是_______．8．当a取遍0到5的所有实数值时，满足3b＝a（3a－8）的整数b的个数是______．79.若a,b满足,则的取值范围是______________.10．若正整数x，y满足方程x2＋y2＝1997，则x＋y等于______．第二试一、（本题满分20分）设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC.试证：BC⊥BD，且BC=BD．二、（本题满分25分）已知a，b为整数，且a＞b，方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个根α，β满足关系式α（α＋1）＋β（β＋1）＝（α＋1）（β＋1），试求所有的整数点对（a，b）．三、（本题满分25分）已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a＋5b＝c，则a＋b＋c是整数n的倍数”．试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．一、选择题1．下述四个命题7(1)一个数的倒数等于自身，那么这个数是1；(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形(3)a2的平方根是±｜a｜；(4)大于直角的角一定是钝角。其中错误的命题有（）A．1个B2个C．3个D．4个2.已知,则满足上述条件的整数x的个数是（）A．4.B．5C．6D．73．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2=9，代数式（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2的最大值是（）A．27B．18C．15D．124．给定平面上n个点，已知1，2，4，8，16，32都是其中两点之间的距离，那么点数n的最小可能值是（）A．4.B．5.C．6D．75．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知B＝7，MN＝3，则EF之值为（）A.4B.C.5D.6.76．如图：已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP＋PB等于（）A．12B．13C．14D．15二、填空题7．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是_______．8．当a取遍0到5的所有实数值时，满足3b＝a（3a－8）的整数b的个数是______．79.若a,b满足,则的取值范围是______________.10．若正整数x，y满足方程x2＋y2＝1997，则x＋y等于______．，729+34=63.第二试一、设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC.试证：BC⊥BD，且BC=BD．二、已知a，b为整数，且a＞b，方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个根α，β满足关系式α（α＋1）＋β（β＋1）＝（α＋1）（β＋1），试求所有的整数点对（a，b）．三、已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a＋5b＝c，则a＋b＋c是整数n的倍数”．试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．77