全国1993年初中数学联合竞赛试题（含解析）一、选择题（本题满分48分，每小题6分）1．多项式x12－x6＋1除以x2－1的余式是（）A．1B．－1C．x－1D．x＋12．对于命题：Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形．以下四个结论中正确的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都对B．Ⅰ对、Ⅱ错C．Ⅰ错、Ⅱ对D．Ⅰ、Ⅱ都错3．设x是实数，y＝|x－1|＋|x＋1|，下列四个结论：Ⅰ.y没有最小值．Ⅱ.只有一个x使y取到最小值．Ⅲ.有有限多个(不止一个)x使y取到最小值．Ⅳ.有无究多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ4．实数x1，x2，x3，x4，x5满足方程组其中a1,a2,a3,a4,a5是常数,且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则x1，x2，x3，x4，x5的大小顺序是（）A．x1＞x2＞x3＞x4＞x5B．x4＞x2＞x1＞x3＞x5C．x3＞x1＞x4＞x2＞x5D．x5＞x3＞x1＞x4＞x25．不等式x－1＜(x－1)2＜3x＋7的整数解的个数（）10A．等于4B．小于4C．大于5D．等于56．在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是（）A.-B.C.D.-7．锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么m∶n∶p等于（）A.：：B．a∶b∶cC．cosA∶cosB∶cosCD．sinA∶sinB∶sinC8．可以化简为（）A.B.C.D.二、填空题（本题满分32分，每小题8分）9.当x变化时,分式的最小值是_________.10．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有______个小球．11．若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k=______．12．锐角三角形ABC中，∠A＝30°，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于D、E，边结DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形DBCE，设它们的面积分别为S1、S2，则S1∶S2=______．10第二试一、设H是等腰三角形ABC的垂心在底边BC保持不变的情况下，让项点A至底边BC的距离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC的值变小，变大，还是不变？证明你的结论．二、在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13．在边AB，AC分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．三、已知方程x2＋bx＋c＝0及x2＋cx＋b＝0分别各有两个整数根x1，x2和x1＇，x2＇，且x1x2＞0，x1＇x2＇＞0．(1)求x1＜0，x2＜0，x1＇＜0，x2＇＜0；(2)求证:b－1≤c≤b＋1；(3)求b、c所有可能的值．1993年全国初中数学联合竞赛试题解答第一试一．选择题1．多项式x12－x6＋1除以x2－1的余式是（）A．1B．－1C．x－1D．x＋12．对于命题：Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形．以下四个结论中正确的是（）103．设x是实数，y＝|x－1|＋|x＋1|，下列四个结论：Ⅰ.y没有最小值．Ⅱ.只有一个x使y取到最小值．Ⅲ.有有限多个(不止一个)x使y取到最小值．Ⅳ.有无究多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ4．实数x1，x2，x3，x4，x5满足方程组其中a1,a2,a3,a4,a5是常数,且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则x1，x2，x3，x4，x5的大小顺序是（）10A．x1＞x2＞x3＞x4＞x5B．x4＞x2＞x1＞x3＞x5C．x3＞x1＞x4＞x2＞x5D．x5＞x3＞x1＞x4＞x25．不等式x－1＜(x－1)2＜3x＋7的整数解的个数（）A．等于4B．小于4C．大于5D．等于56．在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos(∠OBC＋∠OCB)的值是（）A.-B.C.D.-107．锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到三边的距离分别为m，n，p，那么m∶n∶p等于（）A.：：B．a∶b∶cC．cosA∶cosB∶cosCD．sinA∶sinB∶sinC8．可以化简为（）A.B.C.D.二、填空题9.当x变化时,分式的最小值是_________.∴当10x=-1时，公式取最小值4.10．放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有______个小球．11．若方程(x2－1)(x2－4)＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k=______．12．锐角三角形ABC中，∠A＝30°，以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于D、E，边结DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形DBCE，设它们的面积分别为S1、S2，则S1∶S2=______．【答案】3【解析】如图，BC为圆的直径，，10第二试一、设H是等腰三角形ABC的垂心在底边BC保持不变的情况下，让项点A至底边BC的距离变小，这时乘积S△ABC·S△HBC的值变小，变大，还是不变？证明你的结论．解法2作图如解法1，再延长AD至G，使DG=DH，并分别连接BG，GC.10由ΔHBD≌ΔGBD知，.二、在△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13．在边AB，AC分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．三、已知方程x2＋bx＋c＝0及x2＋cx＋b＝0分别各有两个整数根x1，x2和x1＇，x2＇，且x1x2＞0，x1＇x2＇＞0．(1)求x1＜0，x2＜0，x1＇＜0，x2＇＜0；(2)求证:b－1≤c≤b＋1；(3)求b、c所有可能的值．1010