全国1991年初中数学联合竞赛试题（含解析）一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．1、设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3；（B）；（C）2；（D）．答（）2．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．答（）3.方程的解是（A）；（B）；（C）或；（D）．答（）4.已知：（n是自然数）．那么，的值是（Ａ）；　　　　　　　（Ｂ）；（Ｃ）；　　　　　（Ｄ）．11答（　）5.若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（　）6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．答（　）7.如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2；（Ｄ）3．答（）8.在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则（Ａ）<c<2；（ｂ）0<c≤；（c）c>2；　　　　　（D）c=2．答（　　）二、填空题9．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．1110．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．11．设m，n，p，q为非负数，且对一切x>０，恒成立，则　　　　　　　．12．四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，AB，BC，CD=6，则AD=．第二试一、x+y，　x－y，　xy，　四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的11一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一选择题111.设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3；（B）；（C）2；（D）．答（）2．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是(A)10；（B）12；（C）16；（D）18．答（）3.方程的解是（A）；（B）；（C）或；（D）．答（）114.已知：（n是自然数）．那么，的值是（Ａ）；　　　　　　　（Ｂ）；（Ｃ）；　　　　　（Ｄ）．答（　　）5．若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（　）（到此）6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么11的最大值是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．答（　）7．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2；（Ｄ）3．答（）8．在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则（Ａ）<c<2；（ｂ）0<c≤；（c）c>2；　　　　　（D）c=2．答（　　）11二、填空题9.Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．10．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．11．设m，n，p，q为非负数，且对一切x>０，恒成立，则　　　　　　【答案】9所以，只能是n=q=1．于是1112．四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，AB，BC，CD=6，则AD=．第二试一、x+y，　x－y，　xy，　四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．所以符合要求的数对只有（，-1）和（-，-1）.二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF11三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1111</c<2；（ｂ）0<c≤；（c）c></c<2；（ｂ）0<c≤；（c）c>