小结与复习第16章二次根式要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 要点梳理1．二次根式的概念一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式.对于二次根式的理解：①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0.[易错点]二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 2．二次根式的性质:3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含_______；(2)被开方数中不含能___________的因数或因式．开得尽方分母 4．二次根式的乘除法则：乘法：＝______(a≥0，b≥0)；除法：＝____(a≥0，b>0)．可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次根式进行合并．被开方数相同最简二次根式5．二次根式的加减：类似合并同类项逆用也适用. 注意平方差公式与完全平方公式的运用！6．二次根式的混合运算有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 例1求下列二次根式中字母a的取值范围:解:(1)由题意得(3)∵(a+3)2≥0，∴a为全体实数.(4)由题意得∴a≥0且a≠1.考点讲练考点一二次根式的相关概念有意义的条件 方法总结求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于或等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零.针对训练1.下列各式：中，一定是二次根式的个数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个B 2.求下列二次根式中字母的取值范围:解得－5≤x＜3.解：(1)由题意得∴x=4.(2)由题意得 例2若求的值.解：∵∴x－1=0,3x+y－1=0,解得x=1,y=－2.则【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知和均为0.考点二二次根式的性质 初中阶段主要涉及三种非负数：≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.方法总结 例3实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：ba0解：由数轴可以确定a<0,b>0，∴∴原式=-a-(-a)+b=b.解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简. 4.若1<a<3,化简的结果是.2针对训练3.若实数a,b满足则.15.将下列各数写成一个非负数的平方的形式： 考点三二次根式的运算及应用例4计算：解： 方法总结二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算. 例5把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．解： 8.计算：解：(1)原式(2)原式针对训练6.下列运算正确的是（　　）C7.若等腰三角形底边长为，底边的高为则三角形的面积为. 9.交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式，其中v是车速（单位：千米每小时），d是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位：米），f是摩擦系数．在某次交通事故调查中，测得d=20米，f=1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度．解：根据题意得（千米/时）．答：肇事汽车在出事前的速度是千米/时． 例6先化简，再求值：，其中.解：当时，原式解析：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可.考点四二次根式的化简求值 例7有这样一道题：“计算的值，其中x=2019”.小卿把“x=2019”错抄成“x=2091”，但是她的计算结果仍然是正确的，这是为什么？解：∵∴无论x取何值，原式的值都为-2. 10.先化简，再求值：,其中解：原式当时，原式针对训练 考点五本章解题思想方法分类讨论思想例8已知a是实数，求的值.解：分三种情况讨论：当a≤－2时，原式=(－a－2)－[－(a－1)]=－a－2+a－1=－3;当－2＜a≤1时，原式=(a+2)+(a－1)=2a+1;当a＞1时，原式=(a+2)－(a－1)=3. 整体思想例9已知，求的值.解：∵∴ 类比思想例10阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a，b，得a=_______;b=______;(2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：(3)请化简：m2+3n22mn解： 加、减、乘、除运算二次根式性质最简二次根式课堂小结 见章末练习课后作业