17.2一元二次方程的解法第17章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结17.2.1配方法 学习目标1.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点)3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.(难点) 1.如果x2=a,则x叫做a的.导入新课复习引入平方根2.如果x2=a(a≥0),则x=.3.如果x2=64,则x=.±84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数. 讲授新课直接开平方法一问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程10×6x2=1500，由此可得x2=25，开平方得即x1=5，x2=－5.∵棱长不能是负值，∴正方体的棱长为5dm．x=±5， 试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,∵负数没有平方根，∴原方程无解. (2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根=0；(3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.探究归纳一般的，对于可化为方程x2=p,(I)(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2－900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.典例精析 在解方程(1)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:(x+3)2=5，②得对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5探究交流于是，方程(x+3)2=5的两个根为 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.解题归纳 例2解下列方程：(1)即x1=3，x2=-1.解：移项，得∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.∴x1=，x2=(2)解：移项，得两边都除以12，得∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5. 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n)2=p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流 配方的方法二问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究交流 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？222323424 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+()2=(x+)2配方的方法 用配方法解方程三探究交流怎样解方程:x2+6x+4=0(1)问题1方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0x2+6x=-4移项x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法： 要点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．配方法解方程的基本步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);四直接开平方法解方程. 例3解下列方程：解：（1）移项，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即 配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x2－3x=－1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 配方，得∵实数的平方不会是负数，∴x取任何实数时，上式都不成立，∴原方程无实数根．解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即 例4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k-2)2＋1∵(k-2)2≥0，∴(k-2)2＋1≥1.∴k2－4k＋5的值必定大于零. 1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+5x+1的最大值.练一练C解：（1）2x2-4x+5=2(x-1)2+3当x=1时有最小值3.（2）-3x2+12x-16=-3(x-2)2-4当x=2时有最大值-4. 归纳总结配方法的应用类别解题策略1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2. 当堂练习(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,x1=,x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1,x2=-41.下列解方程的过程中，正确的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=±(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4D (1)方程x2=0.25的根是.(2)方程2x2=18的根是.(3)方程(2x-1)2=9的根是.3.解下列方程：(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；(3)(x＋1)2=4.x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.填空:解：x1＝9,x2＝－9.解：x1＝5,x2＝－5.解：x1＝1,x2＝－3. 4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1. 5.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得(35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m. 6.若，求(xy)2的值.解：对原式配方，得由代数式的性质可知 7.已知a,b,c为△ABC的三边长，且试判断△ABC的形状.解：对原式配方，得由代数式的性质可知∴△ABC为等边三角形. 课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步骤一移常数项；二配方[配上]；三写成（x+n)2=p(p≥0);四直接开平方法解方程.特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明直接开平方法利用平方根的定义求方程的根的方法