17.5一元二次方程的应用第17章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 学习目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）2.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点） 导入新课问题引入小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？ 讲授新课平均变化率问题与一元二次方程一填空：1.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650元，则下降率是.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.探究归纳7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量 2.前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2 例1前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是4050元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得5000(1－x)2=4050，解方程，得x1=0.1，x2=1.1.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为10％.注意下降率不可为负，且不大于1. 例2某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x.根据题意，得答：这个增长率为50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950,整理方程，得4x2+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.注意增长率不可为负，但可以超过1. 方法归纳建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 几何图形与一元二次方程二例3要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）27cm21cm 分析:这本书的长宽之比：,正中央的矩形长宽之比：，上下边衬与左右边衬之比：.9927cm21cm解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：9777 27cm21cm解:设上下边衬的9xcm，左右边衬宽为7xcm.依题意得解方程得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为:方程的哪个根合乎实际意义?为什么?试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得27cm21cm解得故上下边衬的宽度为:故左右边衬的宽度为: 主要集中在几何图形的面积问题,这类问题的面积公式是等量关系.如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;方法点拨 例4如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm²？根据题意得AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm解：若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm²整理，得解得x1=x2=3答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 例5：如图,在一块长为92m,宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽？解：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(92–2x)m,宽(60-x)m.(92-2x)(60-x)=6×885.解得x1=105(舍去），x2=1.注意：结果应符合实际意义答：水渠宽应挖1m. 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.方法点拨 例6一组学生组织春游，预计共需费用120元.后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元.问原来这组学生的人数是多少?分析：设原来这组学生的人数是x人，则把体重信息整理成下表：总费用/元人数/人每人费用/元原来现在 解：设原来这组学生的人数是x人，由题意得，两边同乘x(x+2)，整理，得，x2+2x－80=0.解这个方程，得，x1=-10，x2=8.经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不符合题意，所以取x=8.答：原来这组学生是8人. 解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是否为增根，还要考虑它是否符合题意.方法点拨 当堂练习1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.B2(1+x)+2(1+x)2=8 3.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=080cmxxxx50cmB 4.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,根据题意，得系数化为1得，直接开平方得，则答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.7200(1+x)2=8712(1+x)2=1.211+x=1.1,1+x=-1.1x1=0.1,x2=-1.1, 5.如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为(32-x)米，列方程得(20-x)(32-x)=540，整理得x2-52x+100=0，解得x1=50(舍去），x2=2.答：道路宽为2米.图1图2 能力提升菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.（1）求平均每次下调的百分率；解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2，解得x1=20%，x2=1.8（舍去）∴平均每次下调的百分率为20%. （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元），∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠. 课堂小结一元二次方程的应用增长率a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.降低率a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.平均变化率问题几何图形常见几何图形面积是等量关系.其他类型问题