第17章一元二次方程教学目标：1、了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根．2、理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的实际问题．3、进一步培养学生快速准确的计算能力．4、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力．3．进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力．教学重点：一元二次方程的解法及应用教学难点：一元二次方程的应用教学过程：一、知识点：二、课堂探究：探究点一：一元二次方程的相关概念例1：下列方程中，哪些是一元二次方程？（2）（x＋3）（x-3）＝0；（4）2x2-y＋2＝0（5）（2x-1）（x＋3）＝2x2＋1；（6）（m-1）x2＋3mx-m＝0（m≠1的常数）． 学生口答，相互评价，强调判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是不是一元整式方程．在此前提下，通过去括号、移项，合并同类项等步骤化简整理后，再看未知数的最高次数是不是2．例2：写出下列方程的二次项系数，一次项系数和常数项．（1）（3x-1）（x＋1）＝6-（x-2）2，（2）关于x的方程kx2＋2kx＝x2-k-3（k≠1）．学生笔答、板书、评价．注意以下两点：（1）必须将一元二次方程化成一般形式．（2）二次项系数通常化为正数，各项系数包括它的符号．探究点二：一元二次方程的解法例3：解下列方程（1）3x2-48＝0              （直接开平方法）；（2）（x＋a）2＝225        （直接开平方法）；（3）2x2＋7x-4＝0                  （配方法）；（4）2x2-x＝5            （公式法）；（5）（3x-1）2＝6x-2                （因式分解法）；（6）abx2＋a2x-b2x-ab=0               （因式分解法）；学生板书、笔答，教师点拨．和学生一起回忆配方法和公式法的步骤，直接开平方法，因式分解法解一元二次方程，体现了“转化”和“降次”的思想方法，即把二次方程转化为一次方程求解，通过开平方和因式分解达到“降次”．例4：选择适当方法解下列方程 （2）5x2-7x＋1＝0；（3）4x2-5x＋1＝0；（4）4（x＋2）2-9（x-3）2＝0．分析：用什么方法解方程，主要依据方程的特点．（1）可用直接开平方法，也可用因式分解法．（2）可用公式法和配方法．（3）可采用因式分解法．（4）可采用直接开平方法和因式分解法．分析完毕，学生板书，笔答，评价．最后总结如下结论：解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法．探究点3：一元二次方程的根的判别式例5：求m为什么实数时，方程（m-1）x2-6x＋3＝0．①有实数根；②没有实数根．引导学生分析：由于二次项系数是m-1，当m-1＝0时，方程为一元一次方程；当m-1≠0时，方程为一元二次方程，据题意，要根据这两种情况分别议论．解：（1）当m-1＝0，即m＝1时，原方程为-6x+3＝0，即当m=1时，方程有实数根．当m-1≠0，即m≠1时，原方程的根的判别式为Δ=（-6）2-4×3（m-1）＝48-12m，由Δ=48-12m≥0，得m≤4．∴ 当m≤4且m≠1时原方程有两个实数根．综上所述，当m≤4时，原方程有实数根．（2）当Δ=48-12m＜O，即m＞4时，原方程没有实数根． 【变式】求证：关于x的方程x2-（k＋4）x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根．分析：利用“Δ”证明方程根的情况，首先应把方程化成一般形式，写出根的判别式的代数式，然后利用因式分解法或配方法来确定判别式的符号，进而得出结论，本题只需证明对于任意的实数k都有Δ＞0即可．分析完毕，学生板书、笔答，评价．探究点四：一元二次方程的应用例6：某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率．　分析：如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1±x)2.由此列出方程a(1±x)2＝b，求出所需要的量．例7：某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件．已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？分析：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据．例8：要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．设计方案如图所 示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．三、课堂小结：通过本节课的学习，能选择恰当的方法解一元二次方程，更进一步锻炼学生快速准确的计算能力及推理论证能力，更进一步深刻体会“转化”及“配方”的思想方法．四、作业：1．下列方程是一元二次方程的是(　　)A．x＋2y＝1B．2x－2＝8xC．D．x2－2＝02．下列各数为方程x2－2x－3＝0的根的是(　　)A．3B．2C．1D．03．关于x的一元二次方程x2＋k＝0有实数根，则k的取值范围是(　　)A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤04．一个三角形的两边长为3,6，第三条边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是(　　)A．11B．13C．11或13D．无法确定5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为(　　)A．x(x＋1)＝1035B．x(x－1)＝1035×2C．x(x－1)＝1035D．2x(x＋1)＝1035[来源:学科网]7．方程(x＋1)(x－2)＝0的解是__________．8．已知方程x2＋kx＋3＝0的一根是－1，则k＝__________，另一根为________．9．我市某企业为节约用水，自建污水净化站，7月份净化污水3000吨，9月份增加到3630吨，则这两个月净化污水量平均每月增加的百分率为__________． 10.解下列方程：(1)(x－5)2＝36；(2)3x2－6x＋1＝0；(3)x2－4x＋1＝0；(4)(2x－3)2＝3(2x－3)．[来源:Zxxk.Com]11.已知：关于x的方程kx2+2（k-3）x+k+2＝0有两个实数根，求k的取值范围．12.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为x元，则每天可卖出(350－10x)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店要想每天赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价应是多少元？