4.2一次函数与正比例函数北师大版数学八年级上册,1.什么是函数？2.函数有哪些表示法？复习引入一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数.函数的表示法：①图象法②列表法③关系式法（解析式法）导入新知,1.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系.素养目标3.能利用一次函数解决简单的实际问题.,x/kg12345…y/cm…（1）计算所挂物体的质量分别为1kg，2kg，3kg，4kg，5kg时弹簧的长度，并填入下表：3.544.555.5复习引入（2）你能写出y与x之间的关系式吗？知识点1一次函数与正比例函数的概念探究新知某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm.问题1解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x.分析：它们之间的数量关系是:弹簧长度=原长+增加的长度,汽车行驶路程x/km050100150200300耗油量y/L某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L.（1）完成下表：0612182436（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？y=0.12xz=60-0.12x探究新知问题2,研讨以下两个函数关系式:(1)y=0.5x+3.(2)y=-0.12x+60.它们的结构有什么特点？解析:1．都是含有两个变量x，y的等式.2．x和y的指数都是一次.3．自变量x的系数都不为0.探究新知,若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.函数是一次函数关系式为：y=kx+b(k,b为常数，k≠0）函数是正比例函数关系式为：y=kx(k为常数，k≠0）定义：探究新知,思考一次函数的结构特征有哪些？（1）k≠0.（2）x的次数是1.（3）常数项b可以为一切实数.一次函数正比例函数探究新知答：一次函数的结构特征：,例1下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？(1)y=-x-4;(2)y＝5x2-6；(3)y=2πx;(6)y=8x2+x(1-8x);解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数；(5)不是一次函数，也不是正比例函数；(6)是一次函数，也是正比例函数；(7)不是一次函数，也不是正比例函数.（7）y=kx+b.探究新知素养考点1一次函数与正比例函数的判断,探究新知方法点拨1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判断一个函数是正比例函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．,下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？（1）；（2）；（3）；（4）答：（1）是一次函数，又是正比例函数；（4）是一次函数.巩固练习变式训练,例2已知函数y=(m-2)x+4-m2（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?解：（1）由题意可得m-2≠0，解得m≠2.即m≠2时，这个函数是一次函数.探究新知素养考点2利用一次函数的概念求字母的值注意：利用定义求一次函数解析式时，必须保证：（1）k≠0；（2）自变量x的指数是“1”（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?（2）由题意可得m-2≠0，4-m2=0，解得m=-2.即m=-2时，这个函数是正比例函数.,已知函数y=2x|m|+(m+1).（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.解：（1）由题意得：因此m=±1.（2）由题意得：m+1=0,解得m=-1.巩固练习变式训练,写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;解：由路程=速度×时间，得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.解：由圆的面积公式，得y=πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.探究新知知识点2一次函数与正比例函数的应用例1,解：这个水池每时增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3.探究新知,某种大米的单价是2.2元/kg，当购买xkg大米时，花费为y元，y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？探究新知解：y=2.2x，y是x的一次函数,是正比例函数.巩固练习,自2019年1月1日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的，预扣预缴税款为0；每次收入超过800元但不超过4000元的，预扣预缴税款=（每次收入-800）×20%……如某人取得劳务报酬2000元，他这笔所得应预扣预缴税款(2000-800)×20%=240（元）.（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x（元）之间的关系式；解：当每次收入超过800元但不超过4000元时，y=(x-800)×20%，即y=0.2x-160;探究新知例2,（2）某人某次取得劳务报酬3500元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元？解：当x=3500时，y=0.2×3500-160=540（元）；探究新知（3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元，那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？解：因为(4000-800)×20%=640（元），600<640，所以此人这次取得的劳务报酬不超过4000元.设此人这次取得的劳务报酬是x元，则600=0.2x-160，所以此人这次取得的劳务报酬是3800元.解得x=3800.,某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费1元，另一种是会员卡收费，卡费每月12元，租书每本0.4元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x本.(1)写出零星租书方式应付金额y1（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.(2)写出会员卡租书方式应付金额y2（元）与租书数量x（本）之间的函数关系式.(3)小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?解:(1)y1=x.解:(2)y2=0.4x+12.解:(3)由x=0.4x+12知,当x<20时，零星租书方式合算；当x=20时，两种租书方式一样；当x>20时,会员卡租书方式合算.巩固练习,根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；连接中考,小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．解：（1）根据题意得：y＝m﹣6x；（2）将x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，∴m＝16∴当时地面气温为16℃∵x＝12＞11，∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．连接中考,1.下列函数中，y是x的一次函数的是（）①②③④A.①②③B.①③④C.①④D.②③④C基础巩固题课堂检测,2.下列说法正确的是（）A.一次函数是正比例函数B.正比例函数不是一次函数C.不是正比例函数就不是一次函数D.正比例函数是一次函数D3.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足,.n=2m≠2基础巩固题课堂检测,4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；(2)求x＝2.5时，y的值．所以y＝3x－9，y是x的一次函数．y＝3×2.5-9＝-1.5．解：(1)设y＝k(x－3)，把x＝4，y＝3代入上式，得3＝k(4－3)，解得k＝3，(2)当x＝2.5时，所以y＝3(x－3)，课堂检测基础巩固题,为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m3时，水费按0.6元/m3收费，每户每月用水量超过6m3时，超过的部分按1元/m3收费.设每户每月用水量为xm3，应交水费y元．（1）写出每月用水量不超过6m3和超过6m3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数；（2）已知某户5月份的用水量为8m3，求该用户5月份的水费．课堂检测能力提升题（2）当x=8时，y=8-2.4=5.6（元）.解：（1）不超过6m3时：y=0.6x；超过6m3时：y=0.6×6+1(x-6)=x-2.4；y是x的一次函数；,如图，△ABC是边长为x的等边三角形.（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？如果是，请指出相应的k与b的值.解:(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，所以BD=.即所以h是x的一次函数，且课堂检测拓广探索题在Rt△ABD中，由勾股定理，得ABCD,（2）当时，求x的值.（3）求△ABC的面积S与x的函数解析式.S是x的一次函数吗？解:（2）当，有.解得x=2.（3）因为即所以S不是x的一次函数.课堂检测拓广探索题,一次函数与正比例函数一次函数形式：y=kx+b（k≠0）特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数一次函数的简单应用课堂小结,课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习