2022—2022学年度高二上学期期中考试数学试题（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，则曲线C的方程为（　　）A.B.C.D.2.抛物线的准线方程是，则的值为（　　）A.B.C.D.3.在极坐标系中，过点（2，π）且与极轴的倾斜角为的直线的极坐标方程是（　　）A．B.C．D．4.设点，的周长为，则的顶点的轨迹方程为（　）A.B.C.D.5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为（　　）A.B.C.D.6.若动点在曲线上运动，则的最大值为（　　）A.B.C.D.-8-\n7.在极坐标系中，若点，则(为极点)的面积为（　　）A.B.C.D.8.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的方程为（　　）A.B.C.D.9.已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（　　）A.B.C.D.10.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为（　　）A.1B.1或3C.2D.2或611.已知是椭圆上的点，分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差一定是（　　）A.B.C.D.12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）A.B.C.D.-8-\n二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.在极坐标系中，以点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是14.函数在处有极值10，则，15.已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是16.若等轴双曲线的左、右顶点分别为椭圆的左、右焦点，点是双曲线上异于的点，直线的斜率分别为，则三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，分别为与轴、轴的交点.（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并求的极坐标；（Ⅱ）设的中点为，求直线的极坐标方程.18.（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆相交于两点，点的坐标为，试求的值.19.（本小题满分12分）设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的极小值大于0，求k的取值范围．20.（本小题满分12分）-8-\n已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的恒成立．（Ⅰ）求的解析表达式；（Ⅱ）设，曲线C：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．21.（本小题满分12分）已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.22.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.A、B是椭圆的左、右顶点，直线过B点且与轴垂直.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设G是椭圆C上异于A、B的任意一点，作轴于点H，延长HG到点Q使得，连接AQ并延长交直线于点M，N为线段MB的中点，判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.　-8-\n数学试题评分标准（文）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案ABDBBACDCBDA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.14.15.16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为……3分当时，，所以……4分当时，，所以……5分（Ⅱ）点的直角坐标分别为点P的直角坐标为则P点的极坐标为直线的极坐标方程为……10分18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）圆C的方程可化为，即圆C的直角坐标方程为……4分（Ⅱ）把直线的参数方程与圆C的直角坐标方程联立，可得：……6分设点A、B对应的参数分别为，则……8分……12分-8-\n19.（本小题满分12分）解析：（I）当k=0时，f（x）=﹣3x2+1∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．……2分当k＞0时，f'（x）=3kx2﹣6x=3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．……6分（II）当k=0时，函数f（x）不存在最小值．……7分当k＞0时，依题意f（）=﹣+1＞0，……9分即k2＞4，……11分由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）……12分20.（本小题满分12分）解析：（I）设f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0），则f'（x）=2ax+b，f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c．由已知，得2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c，∴，解之，得a=﹣1，b=0，c=1，∴f（x）=﹣x2+1．……4分（II）由（I）得，P（t，1﹣t2），切线l的斜率k=f'（t）=﹣2t，∴切线l的方程为y﹣（1﹣t2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+1．……6分从而l与x轴的交点为，l与y轴的交点为B（0，t2+1），∴（其中t＞0）．……8分∴．……10分当时，S'（t）＜0，S（t）是减函数；当时，S'（t）＞0，S（t）是增函数．-8-\n∴．……12分21.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为由题意知解得故椭圆C的方程为……4分（II）由题意知椭圆C的方程为当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；……5分当直线的斜率存在时，设直线的方程为由得……7分设，则即解得：，即……11分故直线的方程为或……12分22.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意：到直线的距离为，则椭圆C的标准方程为……4分-8-\n（Ⅱ）设，则直线的方程为……6分与联立得：则直线的方程为……8分即方程可化为……10分到直线的距离为故直线与以AB为直径的圆O相切.……12分-8-