哈师大青冈实验中学2022-2022学年度第二学期期中考试高二数学理试题一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为A．　　B．C．ln2D．2ln22.命题“若，则”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有A.0个B.2个C.3个D.4个3.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为A.10B.12C.18D.244.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为A.2,5B.5,5C.5,8D.8,85.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表及公式算得：，参照附表得到的正确结论是.841A.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”C.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”D.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”-15-\n6.已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是A.B.C.D.7.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的，分别为，，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数，例：），则输出的等于A.B.C.D.8.如图所示的程序框图中，若输出的是，则①处应填A.B.C.D.9.命题“，”的否定是A.，B.，C.，D.，10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为A.B.C.D.11.用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是A.B.C.D.12.已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为A.4B.2C.D.二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为．-15-\n14.给出下列等式：由以上等式推出一个一般结论：对于 ．15.已知命题，使；命题的解集是．下列结论：①命题“”是假命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．其中正确的是　　．（填所有正确命题的序号）16.已知圆，圆，直线分别过圆心，且与圆相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为.三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；（2）求点到平面的距离．18.（本小题12分）设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0。(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值。234567912-15-\n1233456819.（本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的数量，（天）为销售天数）：（1）根据上表数据在所给坐标系中绘制散点图，并用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）根据（1）中的计算结果，该蔬菜商店准备一次性买进25吨，预计需要销售多少天？（参考数据和公式：，，．）20.（本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．21.（本小题12分）已知椭圆（1）若椭圆的离心率为，求的值；-15-\n（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22.（本小题12分）已知函数(1)若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；(2)若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.-15-\n哈师大青冈实验中学2022-2022年度高二下学期期中考试（答案）数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为(　D　)A．　　B．C．ln2D．2ln22.命题“若，则”及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题有（B）A.0个B.2个C.3个D.4个3.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从三所中学抽取60名教师进行调查，已知三所学校分别有180,270,90名教师，则从学校中应抽取的人数为（A）A.10B.12C.18D.244.如图所示中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则，的值分别为（C）A.2,5B.5,5C.5,8D.8,85.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，由列联表并由公式算得：，参照附表得到的正确结论是（C）A.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”-15-\nC.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”D.在犯错的概率不超过的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”6.已知集合，，若成立的一个充分不必要的条件是，则实数的取值范围是（A）A.B.C.D.7.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的，分别为，，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数，例：），则输出的等于（C）A.B.C.D.8.阅读如图所示的程序框图，若输出的是，则①处应填（B）A.B.C.D.9.命题“，”的否定是（B）A.，B.，C.，D.，10.已知椭圆过点，当取得最小值时，椭圆的离心率为（D）A.B.C.D.11.用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是（A）-15-\nA.B.C.D.[来源:学_科_网]12.已知双曲线:的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（B）A.4B.2C.D.二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布，若分数在内的概率为，估计这次考试分数不超过分的人数为150．14.给出下列等式：由以上等式推出一个一般结论：对于．15.已知命题，使，命题的解集是．下列结论：①命题“”是假命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是真命题．其中正确的是　②③　．（填所有正确命题的序号）16.已知圆，圆，直线圆分别过圆心，且与圆相交于,与圆相交于,是椭圆上的任意一动点，则的最小值为6.三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）-15-\n17.（本小题10分）在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；（2）求点到平面的距离．17.【答案】（1）3（2）18.（本小题12分）设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0。(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值。18.-15-\n得b＝－12。------------------------------6分(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x＝－2或x＝1，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增；当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上单调递增。从而函数f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6。-----------------12分19.（本小题12分）为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的质量，（天）为销售天数）：23456791212345678参考公式：，．-15-\n（1）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进25吨，则预计需要销售多少天．解：（1）散点图如图所示： （2）依题意，，，，，，所以，所以回归直线方程为．    （3）由（Ⅱ）知，当时，．即若一次性买进蔬菜吨，则预计需要销售天．20.（本小题12分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，理得到如下频率分布直方图．-15-\n（1）求的值；（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（3）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用表示身高在180以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望．（1）根据题意得：．解得．    （2）设样本中男生身高的平均值为，则所以估计该市中学全体男生的平均身高为．    （3）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在以上的概率约为．由已知得，随机变量的可能取值为，，，．所以；；；．随机变量的分布列为因为，所以．21.（本小题12分）已知椭圆-15-\n（1）若椭圆的离心率为，求的值；（2）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在轴上是否存在点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）因为，，所以．又，所以有，得．    （2）若存在点，使得，则直线和的斜率存在，分别设为，，且满足．依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为．由得．因为直线与椭圆有两个交点，所以．即，解得．设，，则，，，．-15-\n令，即，即，当时，，所以，化简得，，所以．当时，检验也成立．所以存在点，使得．22.（本小题12分）已知函数(1)若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；(2)若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.22.解:(1)定义域为,直线的斜率为,,,.所以由;由所以函数的单调增区间为,减区间为.---------------6分(2)，且对时，恒成立,即.设.当时,,-15-\n当时,,.所以当时,函数在上取到最大值,且所以,所以a>1.所以实数的取值范围为.-------------------12分（法二）讨论法，在上是减函数，在上是增函数.当≤时，≥，解得，∴≤.当时，，解得，∴.综上.-15-