2022级哈师大附中高二上学期期中考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线的焦点坐标是（）A.B.C.D.2.若直线与直线互相垂直，那么的值等于（）A．1B．C．D．3.圆和圆的位置关系是（）A.相离B.相交C.外切D.内切4．焦点在轴上的椭圆的焦距为，则长轴长是（）A.B.C.D.5.一束光线从点出发，经x轴反射到圆上的最短路径是（）A.4B．5C．D．6.方程表示椭圆，则的取值范围是（）A.B.或C.D.或7.过P的直线与抛物线仅有一个公共点，则这样的直线有（）条A.1B.2C.3D.48.直线与椭圆相切，则的值为（）A.B.C.D.9．已知斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且的中点为，则双曲线的渐近线方程为（）\nA．B．C．D．10.倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A,B两点，则弦AB的长为（）A.B.C.D.11.直线与双曲线的左支有两个公共点，则的取值范围是（）A．B.C.D.12.已知向量向量且，设,，，则的最大值为（）A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.)13.已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程．14.已知直线与圆相切，则的值为________.15．若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．16．设分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点，使得则椭圆的离心率为三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本题满分10分)△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c＝2，C＝.(Ⅰ)若△ABC的面积等于，求a，b；(Ⅱ)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．18.(本题满分12分)已知椭圆C的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(,1)，P2(－，－)两点.(I)求椭圆C的标准方程.(II)过点P(1，1)作椭圆的弦AB，使点P为弦AB的中点，求弦AB的长.\n19．（本题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)若AD＝，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上。(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)若圆C与直线交于A,B两点，且求的值。21.(本题满分12分)设椭圆C：的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆C过点P(，1).(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若椭圆C的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交于A、B两点，求面积的最大值．\n22．（本题满分12分）如图，已知抛物线的焦点为F过点的直线交抛物线于A，B两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)记直线MN的斜率为，直线AB的斜率为证明：为定值\n数学试题参考答案（理科）1～5ACBBA6～10DCABD11～12CD13.；14.8或-18；15.；16.17.(I)由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4；又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得a＝2，b＝2.(II)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sinBcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.所以△ABC的面积S＝absinC＝.18.（I）设椭圆C：P1(,1)，P2(－，－)分别代入得.（II）直线AB的斜率为，则AB：与联立，得19.(I)如右图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A－xyz.设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)．因此＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)．\n则·＝0，·＝0，所以AE⊥平面PBC.(II)因为||＝，则D(0，，0)，C(，，0)．设平面AEC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则n1·＝0，n1·＝0.又＝(，，0)，＝(，0，)，故所以y1＝－x1，z1＝－x1.可取x1＝－，则n1＝(－，2，)．设平面DEC的法向量n2＝(x2，y2，z2)，则n2·＝0，n2·＝0，又＝(，0,0)，＝(，－，)，故所以x2＝0，z2＝y2，可取y2＝1，则n2＝(0,1，)．故cos〈n1，n2〉＝＝.所以二面角A－EC－D的平面角的余弦值为.20.（I）；（II）与得设，由韦达定理得，或21.　(I)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为e＝＝=，解得则椭圆C的方程为，P(，1)代入得，，所求椭圆C的方程为(II)过的直线：与联立得，由韦达定理得，，设到直线的距离==（当且仅当）\n22.（I），由韦达定理得，（II）AF：与联立，得由韦达定理得，，同理，（定值）