哈尔滨市第六中学2022届高三上学期期中考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）2．已知全集为，集合，，则集合（）3．若幂函数的图象不过原点，则的取值是（）4．设，则是的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件5．已知向量，，，若，则（）6．已知数列满足，，则（）-9-\n7．已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为时，的最大值是（）8．设，，，则（）9．数列满足，对任意的都有，则()10．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（）11．在直三棱柱中，若，，，，为的中点，为的中点，在线段上，.则异面直线与所成角的正弦值为（）12．对于任意实数，定义，定义在上的偶函数满足-9-\n，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置13．14．在中，角的对边分别为，若，则_______________15．已知，满足，则的取值范围________16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）直线（为参数）与曲线交于两点，与轴交于，求．18.（本小题满分12分）-9-\n在△中，所对的边分别为，,．（1）求；（2）若,求．19.（本小题满分12分）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有（1）求数列与数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，证明：当时，20.（本小题满分12分）如图，是直角梯形，，，，又，，直线与直线所成的角为（1）求证：平面⊥平面；（2）求三棱锥的体积．21.（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，若存在，使得成立．求实数的取值范围．-9-\n22.（本小题满分12分）已知函数．(Ⅰ)当时，求函数的极值；(Ⅱ)时，讨论的单调性；(Ⅲ)若对任意的恒有成立，求实数的取值范围．-9-\n高三理科数学期中考试答案选择：1-5CDBAD，6-10CABBA，11-12CA填空：解答题：17（1）由得，得直角坐标方程为，即；（2）将的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得，点E对应的参数，设点A，B对应的参数分别为，则，，所以．18.（1）因为，即，所以，即，得．所以,或（不成立）．即,得，所以．．又因为，则，或,（舍去）得．（2）,又,即，得19.（1）当时，，所以，当时，，又成立所以数列是以，公比的等比数列，通项公式为.由题意有，得.当时，-9-\n，验证首项满足，于是得故数列的通项公式为．（2）证明：==，所以=，错位相减得=，所以，即，下证：当时，，令=，==当时，，即当时，单调减，又，所以当时，，即，即当时，20.(1),(2)21.（1）设的公差为，由已知得即，，故（2）∵存在，使得成立∴存在，使得成立,即有解而，时取等号-9-\n．22.试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为．，令，得；（舍去）．2分当变化时，的取值情况如下：—0减极小值增所以，函数的极小值为，无极大值．4分(Ⅱ)，令，得，，5分当时，，函数的在定义域单调递增；6分当时，在区间，，上，单调递减，在区间，上，单调递增；7分当时，在区间，，上，单调递减，在区间，上，单调递增．8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时，函数在区间单调递减；所以，当时，，问题等价于：对任意的，恒有成立，1即-9-\n，，所以12分-9-