哈尔滨市第六中学2022-2022学年度上学期期中考试高二数学试题（文史类）满分：150分时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．1．某学校有高中学生900人，其中高一有400人，高二300人，高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数为（）A．30、10、5B．25、15、5C．20、15、10D．15、15、152.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a23．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有（）A．1对B．2对C．3对D．4对4．已知六棱锥的底面是正六边形，平面.则下列结论不正确的是（）（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面主(正)视图左(侧)视图俯视图5．随机对某社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2022年4月份用电量的调查结果：居民（户）1324月用电量（度/户）40505560那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是55B．众数是60C．方差是29D．平均数是546．一个几何体的三视图如图所示，其主（正）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A．B．\nC．D．7．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°8．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于(）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．．C．D．12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．正方体的表面积为24，则该正方体的内切球的体积为____________．14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“\n家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，则它们的大小关系为．（用“”连接）15．直三棱柱中，，若各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于．16．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2022段、黄“电子狗”爬完2022段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是．三、解答题：（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17．(本小题满分10分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次数学竞赛中的成绩(单位:分).已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.（1）求，的值；并判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；\nCABDPE18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，为的中点．（1）求证：面；（2）求证：平面平面．19．（本小题满分12分）某校从参加高二年级期中考试的学生中抽出20名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图；并估计该校学生的数学成绩的中位数(保留两位小数).（2）从数学成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°；AC=BC=CC1=2。（1）求证：AB1⊥BC1；（2）求点B到平面的距离；21．（本小题满分12\n分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温（°C）与该奶茶店的这种饮料销量（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温（°C）91012118销量（杯）2325302621（1）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程．(参考公式：,)（2）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差均不超过2杯，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）所得的线性回归方程是否可靠？22．（本小题满分12分）如图甲，⊙的直径，圆上两点在直径\n的两侧，使，．沿直径折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），为的中点，为的中点．为上的动点，根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥的体积．（2）求证：不论点在何位置，都有⊥；（3）在弧上是否存在一点，使得∥平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．哈尔滨市第六中学2022-2022学年度上学期期中考试高二数学答案（文史类）一．选择题1—5CCBDC6—10DDBCA11-12CD二．填空题13.14．15.16.三．解答题17．（1），，甲队成绩较为稳定（2）试题分析：（1）分别根据甲乙两队的中位数和平均数的求解方法，得出，的值；（2）甲队中成绩不低于80的有三名学生，乙队中成绩不低于80的有四名，列举出甲、乙两队各随机抽取一名的所有可能发生事件，然后挑出甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的种数，两个数做比值即可得到概率；（3）分别计算甲乙两队的方差，方差较小的比较稳定；试题解析：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以；因为甲的平均数为，所以甲的方差，\n又乙的方差，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为．18.略19．（1）第四小组频率0.3，图略，73.33；（2）（1）根据各组的频率和为1可计算出第四组的频率，从而求出第四组小矩形的高，作出频率分布直方图；以中位数为准作一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，即可求出中位数；（2）分别计算后两组的人数，利用组合数公式计算出从中选2人的选法数，计算这2人来自同一分段的选法数，利用古典概型概率公式计算；20．（1）详见解析；（2）试题分析：此题分为两种方法，法一：（几何法）（1）要证明线线垂直，可以转化为线面垂直，线线垂直，所以连接,证明平面；（2）求点到平面的距离可以用等体积转化法，=．（2）=，设点B到平面的距离为所以所以，解得所以点B到平面的距离为。21．（2）（1）可靠试题分析：（1）由数据，求得，．，∴关于的线性回归方程为．\n（2）将每一个代入到（1）中的回归方程中得到与实际值差的绝对值都小于等于2，可靠22．（1）（2）详见解析（3）弧上存在一点，满足试题分析：（1）略（2）由⊥平面，因此有⊥（3）要满足∥平面，可过直线做一平面使其与平面平行，找到所做平面与弧的交点（2）∵，∴，∴．又由（1）知，．∴不论点在何位置，都有⊥．（3）弧上存在一点，满足，使得∥．理由如下：连结，则中，为的中点．∴∥．又∵，，∴∥．∵，且为弧的中点，∴．∴∥．又，,∴∥．且，．∴∥．又∴∥．