高二数学（下）期末质量检查（理科）试卷命题人：厦门六中徐福生审定：厦门教育学院数学科本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分为150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、在正方体ABCD-ABCD中，与对角线AC异面的棱有（）A.12条B.6条C.4条D.2条2、(a+b)(nN)的展开式中二项式系数最大的项是（）A.第n项B.第n+1项C.第n+2项D.第n+1或n+2项3、“直线m、n与平面所成的角相等”是“m∥n”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、A+A+A+A+…+A+A等于（）A.2CB.2CC.2CD.2C5、已知直线m、n和平面、，则⊥的一个充分条件是（）A.m⊥n，m∥，n∥；B.m⊥n，=m，n；C.m∥n，n⊥，m；D.m∥n，m⊥，n⊥.6、在北纬60°圈上有甲、乙两地，它们在纬度圈上的弧长等于(R是地球的半径)，则这两地的球面距离为（）A.RB.RC.RD.R7、AC是平面内的一条直线，P为外一点，PA=2,P到的距离是1，记AC与PA所成的角为，则必有（）A.B.cos≤C.sin≥D.tan≥15/158、有5条线段其长度分别为3、5、6、9、10，任取其中的三条线段头尾相连组成三角形，则最多可组成三角形的个数是（）A．4B．8C．10D．69、某人对同一目标进行射击，每次射击的命中率都是0.25，若要使至少命中一次的概率不小于0.75，则至少应射击（）A.4次B.5次C.6次D.8次10、正方体的全面积是a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（）A.B.C.2D.311、在100，101，……，999这些数中，各数位的数字按严格递增或严格递减顺序排列的数的个数是（）A.120B.168C.204D.21612、平面M与平面N相交成锐角，M内一个圆在N内的射影是离心率为的椭圆，则cos等于（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(每小题4分，共16分)13、若A、B为两相互独立事件，且P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)=_________；14、若(3x-1)=ax+ax+……+ax+a，则a+a+……+a=_________；15、若一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数F=______；16、已知二面角—l—为60，点A，点A到平面的距离为，那么点A在面上的射影A到平面的距离为_________。15/15三.解答题：（本大题共74分）17、（本小题满分12分）某小组有男、女学生共13人，现从中选2人去完成一项任务。设每人当选的可能性相同，若选出的两人性别相同的概率为，求⑴选出的两人性别不同的概率；⑵该班男、女生各有多少人。15/1518、（本小题满分12分）四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.15/1519、（本小题满分12分）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲能破译出密码的概率是1/3，乙能破译出密码的概率是1/4，试求：①甲、乙两人都译不出密码的概率；②甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率；③甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率.15/1520、（本小题满分12分）设a1=1，a2=1+q，a=1+q+q，……，a=1+q+q+…+q(nN，q≠±1)，记A=Ca+Ca+…+Ca⑴用q和n表示A；⑵又设b+b+…+b=，求证：{b}为等比数列.15/1521、（本小题满分12分）直三棱柱ABO-ABO中，∠AOB=90°，D为AB的中点，AO=BO=BB=2.O1B1A1OBAD①求证：BO⊥AB；②求证：BO∥平面OAD；③求点B到平面OAD的距离。15/1522、（本小题满分14分）海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上有一个观察站A。上午11点该观察站测得一轮船在海岛O的北60°东C处，俯角为30°；上午11点10分又测得该船在海岛的北60°西D处，俯角60°，问：⑴这船的速度是每小时多少公里？⑵如果船的航向及船速不变，它何时到达岛的正西方向？到达正西方向时所在点E离岛多少公里？高二数学（下）期末质量检查（理科）答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、B2、D3、A4、C5、C6、C7、D8、D9、B10、A11、C12、B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(每小题4分，共16分)13、0.514、12915、816、三.解答题：（本大题共74分）17、（本小题满分12分）解：⑴记事件A为从男、女学生13人中任选出两人的性别相同，即P（A）=，则事件为从男、女学生13人中任选出两人的性别不同，…………3分15/15则P（）=1-P（A）=1-=。……………………………………5分⑵设该班男生有x人，则女生有(13-x)人，（0£x£13，xÎN）………6分则=，………………………………………………………9分得x2-13x+40=0，解得x=8或x=5，………………………………………11分故该班男生有8人，女生有5人；或该班男生有5人，女生有8人。…12分18、（本小题满分12分）证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影.……………………………………………………3分∵CD⊥AB,CD平面BCD∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）…………6分同理BC⊥DO∴O为△BCD的垂心…………………………9分从而BD⊥CO∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD…………12分证法2：作出向量、、、、、.∵⊥，⊥∴·=0，·=0…………………………………4分又=+，=+∴·=·+·++·…………8分=·+(++)=·+·=0∴⊥∴AC⊥BD……………………………………12分19、（本小题满分12分）解：记甲、乙两人独立地破译出密码的事件分别是A、B，则P(A)=,P(B)=…………………………………………………………3分15/15（1）甲、乙两人都译不出密码的概率为：P(·)=P()·P()=(1-)(1-)=…………………………6分（2）甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率为：P(A·+B·)=P(A·)+P(B·)=(1-)+(1-)=……9分（3）甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率为：1-P(A·B)=1-×=……………………………………………12分20、（本小题满分12分）解：(1)∵q≠1∴a=…………………………………………2分于是A=C+C+…+C=[(C+C+…+C)-(Cq+Cq+…+Cq)]……………4分=[(C+C+…+C)-(C+Cq+…+Cq)]=[2-(1+q)](q≠1).……………………………………………6分(2)b+b+…+b=[1-()]b+b+…+b=[1-()]（nN，n³2）相减得:b=[()-()]……………………………8分=()()=()（nN，n³2）15/15又b1=，则:b()（nN）…………………………10分∴=(q≠-1)O1B1A1OBAD∴{b}是等比数列.…………………………………………………12分21、（本小题满分12分）证法1：（1）连结OB，∵OO⊥平面AOB,∴OO⊥AO即AO⊥OO，又AO⊥OB∴AO⊥平面OOBB∴OB为AB在平面OOBB内的射影…2分又OB=BB∴四边形OOBB为正方形∴BO⊥OB∴BO⊥AB（三垂线定理）………………………………4分（2）连结AO交OA于E，再连结DE.∵四边形AAOO为矩形,∴E为AO的中点.又D为AB的中点，∴BO∥DE…………………………6分又DE平面OAD，BO平面OAD∴BO∥平面OAD…………………………………………8分(3)令B点到平面OAD的距离为h∵OA=2，AD=，OD=∴OD+AD=OA15/15∴△ADO为Rt△∴S=·AD·OD=∴V=·S·h=h………………………………10分又S=·S=1∴V=·S·AA=×1×2=又V=V∴h=∴h=即B点到平面OAD的距离为.……………………12分证法2：以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则:O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),B(0,2,2),O(0,0,2),D(1,1,2).…………………………………2分⑴∵=(-2,2,-2),=(0,-2,-2)∴·=(-2)·0+2·(-2)+(-2)·(-2)=0∴⊥∴BO⊥AB……………………4分⑵取OA的中点为E，则E点的坐标是(1,0,1)，∴=(0,-1,-1),又=(0,-2,-2)∴=2又BO、DE不共线，∴BO∥DE……………………………………………………6分又DE平面OAD，BO平面OAD∴BO∥平面OAD……………………………………………8分⑶令平面OAD的法向量为=(x，y，z)，15/15则⊥，⊥∴·=0,·=0又=(-2,0,2)=(-1,1,2)∴取=(1,-1,1)………………………………………………10分又=(-2,2,2)∴B点到平面OAD的距离为:==…………12分22、（本小题满分14分）解：(1)如图所示，利用Rt△AOC和Rt△AOD可求得OC=(公里)，OD=(公里)…………………………………………2分在△ODC中，由余弦定理，得CD=OC+OD-2·OC·ODcos120°xyOCD=()+()-2·(-)=∴DC=(公里)……………………………………4分∴v==6·DC=6=2(公里/小时)…………6分(2)如图所示，过C作CF∥OD，则∠CFE=∠DOE=30°∴CO=CF=……………………8分而△OED∽△FEC∴=，即=∴OE=EF作CM⊥OF，则OM=OF15/15于是OE=OM=MF在Rt△OMC中，OM=OC·cos30°∴OE=OF=OM=OC·cos30°=·=(公里)…………10分在△EOC中，由余弦定理，得CE=OE+OC-2·OE·OCcos150°=()+()-2··(-)=∴CE=…………………………………………………………12分∴t===(小时)因此，若船的速度不变，11点15分船可到达岛的正西方向，此时所在点E距岛1.5公里。……………………………………………………………………14分15/1515/15