高二数学第二学期期末考试模拟卷数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，计40分)1．设，则S等于（A）A．x4B．x4+1C．(x-2)4D．x4+42．从1,2,…,9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（C）A．B．C．D．3．已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（C）A．B．C．D．4．若展开式中含有常数项，则n的最小值是（A）A．4B．3C．12D．105．设随机变量，记，则等于(A)A．B．C．D．6．如果复数那么实数a的取值范围是（D）A．B．C．D．7．已知复数都是实数，且），在复平面内，Z1、Z2所对应的点与原点组成的三角形是（C）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形8．在下列四个命题中：①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则；8/8\n②若{}为空间的一组基底，则{}也构成空间的一组基底；③；④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C，若（其中），则P、A、B、C四点共面．其中正确的个数是（　B　）A．3B．2C．1D．0二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，计30分)9．若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在直线x+y=5下方的概率是10．已知△ABC，A(1,1)，B(2,3)，C(3,－1)，在矩阵作用所得到的图形围成的面积是___________.11．设，则集合中元素的个数是3.12．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为．13．已知，，则满足方程的二阶方阵=14．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为，则若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式：若长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与BA1，BB1，BC所成的角分别为，则。.8/8\n三、解答题(共90分)15．设虚数z1,z2，满足.（1）若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z1,z2．（2）若z1=1+mi(i为虚数单位，m∈R),,复数w=z2+3,求|w|的取值范围．解：(1)∵z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a－bi,由得(a+bi)2=a－bi即：a2－b2+2abi=a－bi根据复数相等，∵b≠0解得：或，∴或．(2)由于，z1=1+mi,w=z2+3,∴w=(1+mi)2+3=4－m2+2mi.∴,由于且m≠0,可解得0<m2≤1,令m2=u,,在u∈(0,1)上，(u－2)2+12是减函数，∴.8/8\n16．函数数列满足：，(1)求；(2)猜想的表达式，并证明你的结论。解：⑴…………2’…………2’⑵猜想：……………………3’下面用数学归纳法证明：①当n=1时，，已知，显然成立………………1’②假设当时，猜想成立，即则当时，……3’即对时，猜想也成立。结合①②可知：猜想对一切都成立。………………2’17．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内.（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？8/8\n（3）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？解：（1）C52A54=1200（种）……4分（2）A55-1=119（种）……8分（3）满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2C52=20种∴满足条件的放法数为：1+10+20=31（种）……14分18．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1―EF―A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小．解：（1）以A为原点，直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且，则D1C1B1A1DCBAEF于是由于是，可解得所以当点F是CD的中点时，（2）当时，F是CD的中点，平面AEF的一个法向量为而在平面C1EF中，所以平面C1EF的一个法向量为8/8\n，又因为当把,都移向这个二面角内一点时，背向平面AEF，而指向平面C1EF故二面角C1―EF―A的大小为又,,所以BA1与平面C1EF所成的角的大小为．19．在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，，，，且当或时，因此，随机变量的最大值为．有放回抽两张卡片的所有情况有种，．答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为．（Ⅱ）的所有取值为．时，只有这一种情况，时，有或或或四种情况，时，有或两种情况．，，．8/8\n则随机变量的分布列为：因此，数学期望．20．当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量用表示，狐狸数量用表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有只，狐狸数量有只。请用所学知识解决如下问题：（1）列出兔子与狐狸的生态模型；（2）求出、关于n的关系式；（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。解：⑴……………………4’⑵设，∴=……=又矩阵M的特征多项式=令得：8/8\n特征值对应的一个特征向量为特征值对应的一个特征向量为……………………6’且∴=∴………………………………14’⑶当n越来越大时，越来越接近于0，,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……2’8/8