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高二数学第二学期期末考试模拟卷

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高二数学第二学期期末考试模拟卷数学试题一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,计40分)1.设,则S等于(A)A.x4B.x4+1C.(x-2)4D.x4+42.从1,2,…,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是(C)A.B.C.D.3.已知自由落体运动的速率,则落体运动从到所走的路程为(C)A.B.C.D.4.若展开式中含有常数项,则n的最小值是(A)A.4B.3C.12D.105.设随机变量,记,则等于(A)A.B.C.D.6.如果复数那么实数a的取值范围是(D)A.B.C.D.7.已知复数都是实数,且),在复平面内,Z1、Z2所对应的点与原点组成的三角形是(C)A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8.在下列四个命题中:①已知A、B、C、D是空间的任意四点,则;8/8\n②若{}为空间的一组基底,则{}也构成空间的一组基底;③;④对于空间的任意一点O和不共线的三点A、B、C,若(其中),则P、A、B、C四点共面.其中正确的个数是( B )A.3B.2C.1D.0二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,计30分)9.若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标,则点P落在直线x+y=5下方的概率是10.已知△ABC,A(1,1),B(2,3),C(3,-1),在矩阵作用所得到的图形围成的面积是___________.11.设,则集合中元素的个数是3.12.曲线,所围成的图形的面积可用定积分表示为.13.已知,,则满足方程的二阶方阵=14.如图,已知命题:若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为,则若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中,试写出相应命题形式:若长方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1与BA1,BB1,BC所成的角分别为,则。.8/8\n三、解答题(共90分)15.设虚数z1,z2,满足.(1)若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两根,求z1,z2.(2)若z1=1+mi(i为虚数单位,m∈R),,复数w=z2+3,求|w|的取值范围.解:(1)∵z1,z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根,因此必共轭,可设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=a-bi,由得(a+bi)2=a-bi即:a2-b2+2abi=a-bi根据复数相等,∵b≠0解得:或,∴或.(2)由于,z1=1+mi,w=z2+3,∴w=(1+mi)2+3=4-m2+2mi.∴,由于且m≠0,可解得0<m2≤1,令m2=u,,在u∈(0,1)上,(u-2)2+12是减函数,∴.8/8\n16.函数数列满足:,(1)求;(2)猜想的表达式,并证明你的结论。解:⑴…………2’…………2’⑵猜想:……………………3’下面用数学归纳法证明:①当n=1时,,已知,显然成立………………1’②假设当时,猜想成立,即则当时,……3’即对时,猜想也成立。结合①②可知:猜想对一切都成立。………………2’17.设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5个盒子内.(1)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?(2)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?8/8\n(3)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?解:(1)C52A54=1200(种)……4分(2)A55-1=119(种)……8分(3)满足的情形:第一类,五个球的编号与盒子编号全同的放法:1种第二类,四个球的编号与盒子编号相同的放法:0种第三类,三个球的编号与盒子编号相同的放法:10种第四类,二个球的编号与盒子编号相同的放法:2C52=20种∴满足条件的放法数为:1+10+20=31(种)……14分18.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.(Ⅰ)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;(Ⅱ)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1―EF―A的余弦值以及BA1与面C1EF所成的角的大小.解:(1)以A为原点,直线AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,且,则D1C1B1A1DCBAEF于是由于是,可解得所以当点F是CD的中点时,(2)当时,F是CD的中点,平面AEF的一个法向量为而在平面C1EF中,所以平面C1EF的一个法向量为8/8\n,又因为当把,都移向这个二面角内一点时,背向平面AEF,而指向平面C1EF故二面角C1―EF―A的大小为又,,所以BA1与平面C1EF所成的角的大小为.19.在一个盒子中,放有标号分别为,,的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、,记.(Ⅰ)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望.解:(Ⅰ)、可能的取值为、、,,,,且当或时,因此,随机变量的最大值为.有放回抽两张卡片的所有情况有种,.答:随机变量的最大值为3,事件“取得最大值”的概率为.(Ⅱ)的所有取值为.时,只有这一种情况,时,有或或或四种情况,时,有或两种情况.,,.8/8\n则随机变量的分布列为:因此,数学期望.20.当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;(3)第n年时,兔子数量用表示,狐狸数量用表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有只,狐狸数量有只。请用所学知识解决如下问题:(1)列出兔子与狐狸的生态模型;(2)求出、关于n的关系式;(3)讨论当n越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由。解:⑴……………………4’⑵设,∴=……=又矩阵M的特征多项式=令得:8/8\n特征值对应的一个特征向量为特征值对应的一个特征向量为……………………6’且∴=∴………………………………14’⑶当n越来越大时,越来越接近于0,,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加,兔子与狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。……2’8/8

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