高二数学第二学期期中试卷数学试卷班姓名学号得分一、选择题(每小题只有一个正确的答案，每小题3分)：1．有下列三个命题：命题1：命题2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形命题3：一条直线与一个平面的无数条直线垂直，则此直线垂直于该平面其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）（A）若AC与BD共面，则AD与BC共面（B）若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线(C)若AB=AC，DB=DC，则AD=BC(D)若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC3．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A．若；B．若l⊥β且α⊥β,则l∥α；C．若；D．若m、n是异面直线，4．在中，已知ÐB=90°，ÐC=30°，AC=4,D是BC中点，E是平面ABC外一点，DE^平面ABC,DE=1，那么点E到直线AC的距离为（）A.B.C.D.25．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④12/12\n二、填空题Ⅰ（每小题3分）：6．一个六棱柱的底面是边长为a的正六边形，侧棱长为b，侧棱与底面所成的角为60°，则这个棱柱的体积为7．A、B、C是球O表面上三点，AB=6,BC=8，AC=10，点O到△ABC所在平面的距离为5，则球O的表面积为。8．在一个坡面的倾斜角为60°的斜坡上，有一条与坡脚的水平线成30°角的直线，沿这条道行走到20m时人升高了米（坡面的倾斜角为坡面与水平面所成的二面角的平面角）9．已知半径为R的球面上有两点A、B，且AB=，则这两点的球面距离为10.如图所示，以长方体ABCD—A1B1C1D1顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是。（注：只写出其中一个并在图中画出相应的四面体）。三、填空题Ⅱ（每小题2分）：1．函数的定义域为2．若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，则a的值为.3.点(2,1)到直线3x-4y+2=0的距离是4．已知cos=，则cosα的值为5．某校一个数学研究性学习小组共有8个同学，其中男同学5人，女同学3人现从这8个同学中选出3人准备一个报告会，要求在选出的3人中男女同学都有，则不同的选法共有种（用数字作答）6“”是“”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件7．在等差数列中，那么前n项的和等于8．已知=（3，4），=（x，－1），⊥，则x的值为9．双曲线的离心率为10．数列｛an｝的前n项和为Sn＝n2-n+2，则该数列的通项公式为.12/12\n四、解答题（答题要求：请写出规范的完整的解答过程）：1．（12分）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，ACB=90°，AC＝2，BC＝2，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：平面CDB1⊥平面ABB1A1；（II）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。2．（12分）已知三棱锥P—BCD中，PD=PB，，BD=CD，∠BDC=90°，平面。（I）求证：；（II）求直线BC与平面PDC所成的角的大小。12/12\n3．（14分）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点.（I）求证：BD1∥平面C1DE；（II）求二面角C1—DE—C的大小；（III）在侧棱BB1上是否存在点P，使得CP⊥平面C1DE？证明你的结论.12/12\n4．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，，（1）若为垂足，求证：；（2）求点A到平面PBC的距离。20220407(3)求二面角C－PD－A的大小。12/12\n附加题（本题共10分，计入总分，但总分不超过100分）：如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面·ABCDEFOBCD内的射影.(I)求点O到平面ACD的距离；(Ⅱ)求二面角E-BF-D的大小.12/12\n高二年级期中数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分）：1.A2.C3.D4.A5.C二、填空题Ⅰ（每小题3分）：6．7．8．9．10．略三、填空题Ⅱ（每小题2分）：1．2．－33．4．5．456．B7．8．9．10．（没有n的范围，或者只写出一种情况，给零分）四、解答题：1．（本题满分12分）（I）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，BB1⊥平面ABC∴BB1⊥CD…………………………1分∵AC＝BC＝2，D是AB的中点∴CD⊥AB…………………………2分∵BB1∩AB=B∴CD⊥平面ABB1A1…………………………4分∵CD平面CDB1∴平面CDB1⊥平面ABB1A1…………………………5分（II）解：连结BC，交BC于E，连结DE∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∴∠CED或其补角为AC1与B1C所成的角，…………………………8分12/12\n在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=，∴由余弦定理得，…………………………11分∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.…………………………12分注：若用向量法得到结论，扣1分；若用向量法得到非的数值，给零分。2．（本题满分12分）解：（I）…………………………4分…………………………6分（II）∵CD⊥BP，BP⊥PD，PD∩CD=D∴BP⊥面PDC∴BC与平面PDC所成的角为∠BCP…………………………9分设BP=，则BD=，在BCP中，BP=，BC=2∴∠BCP=30°…………………………11分∴所求的角为30°…………………………12分注：若用向量法得到结论，，，扣2分；若用向量法得到其它错误的结论，给零分。3．（本题满分14分）（I）证明：连接CD1，与C1D相交于O，连接EO.∵CDD1C1是矩形，∴O是CD1的中点，又E是BC的中点，∴EO∥BD1.………………2分又BD1平面C1DE，EO平面C1DE，12/12\n∴BD1∥平面C1DE.……………………………4分（II）解：过点C作CH⊥DE于H，连接C1H.在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，∴C1H⊥DE，∠C1HC是二面角C1—DE—C的平面角.…………7分根据平面几何知识，DE=，CH=………………9分∴二面角C1—DE—C的大小为………………10分注：若用向量法得到结论，扣1分；若用向量法得到其它错误的结论，给零分。（III）解：在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE……………………11分证明如下：假设CP⊥平面C1DE，则必有CP⊥DE.而PC在平面ABCD内射影为BC，则必有BC⊥DE.这与已知点E是BC的中点相矛盾∴假设CP⊥平面C1DE不成立，即在侧棱BB1上不存在点P，使得CP⊥平面C1DE.………………………14分4．（本题满分12分）解：（1）12/12\n…………………………4分（2）设A到平面PBC的距离为hAB⊥BC∴由三垂线定理得PB⊥BC∵∴∴即所求为…………8分注：若用向量法得到错误结论，给零分。（3）取AD中点N，连结CN，作NM⊥PD于M，连结CM∴CN∥AB∴CN⊥平面PAD∴CM⊥PD∴∠CMN为二面角C－PD－A的平面角…………………………10分在△CMN中，CN=a，NM=a∴∠CMN=∴所求为…………………………12分注：若用向量法得到结论，扣1分；若用向量法得到其它错误的结论，给零分。附加题（本题满分10分）：解：12/12\n（1）如图，连结AO，CO，DO，点O到平面ACD的距离就是三棱锥O-ACD底面ACD上的高h.因为VO-ACD=VA-COD，…………………………1分在正△BCD中，OF=，AO=，…………2分所以VA-COD=·(··1)=.…………………………3分VO-ACD=·h·(··1).…………………………4分解得h=.所以所求为…………5分(2)在正四面体ABCD，OA⊥平面ＢＣD.设OD的中点为K，则EK∥OA.所以ＥK⊥平面ＢＣＤ.在面BCD内，过点K作KM∥CD，KM交BF于M，连结EM因为BF⊥CD，所以KM⊥BF.所以EM⊥BF.所以∠EMK是所求二面角的平面角.……8分因为EK=AO=·=，MK=FD=AD=，所以tan∠FMK==.…………………………9分所以所求二面角的大小为arctan.……………………………………10分注：若用向量法得到结论，扣1分；若用向量法得到其它错误的结论，给零分。12/12\n注：1.用向量法解题的步骤要求：建系，写点的坐标，写向量的坐标，求法向量的坐标，求角或求距离，写结论。若用向量法答案正确但步骤不完整，请酌情扣分。若用向量法但答案不正确，依各题答案后的注解给分。2.若用其它的传统法解题，请酌情按步骤给分。12/12