1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1章直角三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时勾股定理的逆定理 学习目标1.掌握勾股定理的逆定理及勾股数.（重点）2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题．（难点） 导入新课BCA问题1勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.bca问题2求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：①a＝3，b＝4；②a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.c=5c=6.5c=8.5复习引入思考以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？ 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角.情景引入 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?大禹治水相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 讲授新课勾股定理的逆定理一下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.问题2这三组数在数量关系上有什么相同点？①5,12,13满足52+122=132,②7,24,25满足72+242=252,③8,15,17满足82+152=172.问题3古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？因为32+42=52，所以满足.a2+b2=c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.问题3据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′？∠C是直角△ABC是直角三角形ABCabc已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证一证: 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°，即△ABC是直角三角形.则ACaBbc 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角.特别说明：归纳总结 例1下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳 【变式题1】若△ABC的三边a,b,c满足a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以△ABC是直角三角形，且∠C是直角.已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果三角形的三边比中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.归纳 【变式题2】(1)若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，试说明△ABC是直角三角形.解：因为a+b=4,ab=1,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又因为c2=14,所以a2+b2=c2,所以△ABC是直角三角形. (2)若△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形. 例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 练一练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C2.一个三角形的三边长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（　　）A．4B．3C．2.5D．2.4D3.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是________________________.等腰三角形或直角三角形 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数二概念学习 常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 下列各组数是勾股数的是()A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.练一练 12勾股定理的逆定理的应用三例3如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEPQR 问题1认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？12NEPQR16×1.5=2412×1.5=1830“远航”号的航向、两艘船一个半小时后的航程及距离已知，如图.问题2由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？实质是要求出两艘船的航向所成角.勾股定理逆定理 解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,所以∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.NEPQR12解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.归纳 【变式题】如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？东北PABCQD分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD. 解：∵AC=10，AB=6，BC=8，∴AC2=AB2+BC2，即△ABC是直角三角形.设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有BC·AB=AC·BD，即6×8=10BD，解得BD=在Rt△BCD中，又∵该船只的速度为12.8海里/时，6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.东北PABCQD 例4如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.ADBC341312 解：连接AC.ADBC341312在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.所以S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.四边形问题中，对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.归纳 【变式题1】如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD2=AB2+AD2，∴BD=5m.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－AB•AD=(5×12－3×4)=24(cm2)．CBAD 【变式题2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA 例5如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝5，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．（1）证明：∵CD=1，BC＝5，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）解：设腰长AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=(x-1)2+22，解得用到了方程的思想 1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？ABC5cm12cm13cm解：∵BC2+AB2=52+122=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，即△ABC是直角三角形，∠B=90°.答：C在B地的正北方向．练一练 2.如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格． 当堂练习1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，5将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA 3.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状是________________．等腰直角三角形4.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;12 5.已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 6.一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图图 在△BCD中，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在△ABD中，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312图 7.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图），沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里)，∵OB2+OA2=182+242=900，AB2=302=900，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°.∵第一艘搜救艇沿北偏东40°的方向向目标A前进，∴∠BOD=50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50°． 课堂小结勾股定理的逆定理内容如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意最长边不一定是c，∠C也不一定是直角.勾股数一定是正整数应用航海问题与勾股定理结合解决不规则图形等问题