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山西省晋城一中2022学年高二数学上学期10月月考试卷含解析

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2022-2022学年山西省晋城一中高二(上)10月月考数学试卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60,在下列各给出的四个选项中,只有一项是最符合题意的.)1.函数y=的定义域为A,全集为R,则∁RA为()A.(,1]B.∪(1,+∞)D.(﹣∞,]∪2.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.πcm3B.3πcm3C.πcm3D.πcm33.一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则原图形的面积为()A.B.+1C.D.+24.球面上有四个点P,A,B,C,若PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球的球面面积为()A.B.C.3πa2D.-25-\n5.如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.6.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于()A.B.C.D.7.已知两个不重合的平面α,β和两条不同直线m,n,则下列说法正确的是()A.若m⊥n,n⊥α,m⊂β,则α⊥βB.若α∥β,n⊥α,m⊥β,则m∥nC.若m⊥n,n⊂α,m⊂β,则α⊥βD.若α∥β,n⊂α,m∥β,则m∥n8.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积()A.与x,y,z都有关B.与x有关,与y,z无关C.与y有关,与x,z无关D.与z有关,与x,y无关9.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()-25-\nA.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°10.在四棱锥S﹣ABCD中,为了推出AB⊥BC,需从下列条件:①SB⊥面ABCD;②SC⊥CD;③CD∥面SAB;④BC⊥CD中选出部分条件,这些条件可能是()A.②③B.①④C.②④D.③④11.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成角为45°12.如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M、N分别在AD1,BC上移动,并始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()-25-\nA.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸上).13.如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条,这些直线中共有f(n)对异面直线,则f(4)=__________;f(n)=__________.(答案用数字或n的解析式表示)14.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是__________(写出所有正确结论的编号).①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.15.如图是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F,则线段EF的长是__________.-25-\n16.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=__________.三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,C∈α,点B∈β,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,AB,CD所在直线异面,且AE:EB=CF:FD(Ⅰ)求证:EF∥β;(Ⅱ)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.18.△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,向量=(2sinB,2﹣cos2B),=(2sin2(+),﹣1)且⊥.(1)求角B的大小;(2)若a=,b=1,求c的值.19.已知数列{an}的前项和为sn,且满足.(1)求证:是等差数列;(2)求{an}的表达式.20.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD,E是棱PA的中点.(1)求证:PC∥平面EBD;-25-\n(2)求三棱锥P﹣EBD的体积.21.如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点,二面角PADB为60°.(1)证明:平面PBC⊥平面ABCD;(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.22.如图,正方体ABCD=A1B1C1D1,棱长为a,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF=x.(1)当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,求二面角B1﹣EF﹣B的正切值;(2)求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围.-25-\n2022-2022学年山西省晋城一中高二(上)10月月考数学试卷一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60,在下列各给出的四个选项中,只有一项是最符合题意的.)1.函数y=的定义域为A,全集为R,则∁RA为()A.(,1]B.∪(1,+∞)D.(﹣∞,]∪,∵全集为R,∴∁RA=(﹣∞,]∪(1,+∞).故选:C.【点评】本题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.2.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.πcm3B.3πcm3C.πcm3D.πcm3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,据此可计算出体积.【解答】解:由三视图可知,此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球,所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π(cm3).故选D-25-\n【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.3.一个水平放置的图形的斜二测直观图是底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则原图形的面积为()A.B.+1C.D.+2【考点】平面图形的直观图.【专题】计算题;空间位置关系与距离.【分析】根据平面图形的直观图得,原图形为直角梯形,求出上底,高,下底,利用梯形的面积公式求出即可.【解答】解:根据题意,得:原图形为一直角梯形,且上底为1,高为2,下底为1+,所以,它的面积为S=×(1++1)×2=2+.故选:D.【点评】本题考查了水平放置的平面图形的直观图的应用问题,是基础题目.4.球面上有四个点P,A,B,C,若PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球的球面面积为()A.B.C.3πa2D.【考点】球的体积和表面积.【专题】计算题.【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,求出对角线长,即可求出球的表面积.【解答】解:空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为,所以这个球面的面积.故选C.-25-\n【点评】本题是基础题,考查球的内接体知识,球的表面积的求法,考查空间想象能力,计算能力,分析出,正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在.5.如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】异面直线及其所成的角.【专题】计算题.【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,∠A1BC1的余弦值为,故选D.【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.6.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于()-25-\nA.B.C.D.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】计算题;压轴题.【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知,取A1C1的中点D1,∠B1AD1是所求的角,再由已知求出正弦值.【解答】解:取A1C1的中点D1,连接B1D1,AD1,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1D1⊥面ACC1A1,则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角,∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,∴,故选A.【点评】本题主要考查了线面角问题,求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线,再求线面角的正弦值,是基础题.7.已知两个不重合的平面α,β和两条不同直线m,n,则下列说法正确的是()A.若m⊥n,n⊥α,m⊂β,则α⊥βB.若α∥β,n⊥α,m⊥β,则m∥nC.若m⊥n,n⊂α,m⊂β,则α⊥βD.若α∥β,n⊂α,m∥β,则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.【专题】空间位置关系与距离.【分析】A.利用面面垂直的判定定理进行判断.B.利用面面平行和线面平行的性质进行判断.C.利用面面垂直的定义和性质进行判断.D.利用面面平行和线面平行的性质进行判断.【解答】解:A.若n⊥α,m⊥n,则m∥α或m⊂α,又m⊂β,∴α⊥β不成立,∴A.错误.B.若α∥β,n⊥α,则n⊥β,又m⊥β,∴m∥n成立,∴B正确.C.当α∩β时,也满足若m⊥n,n⊂α,m⊂β,∴C错误.D.若α∥β,n⊂α,m∥β,则m∥n或m,n为异面直线,∴D错误.-25-\n故选:B.【点评】本题主要考查空间直线和平面,平面和平面之间位置关系的判断,要求熟练掌握平行或垂直的判定定理.8.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积()A.与x,y,z都有关B.与x有关,与y,z无关C.与y有关,与x,z无关D.与z有关,与x,y无关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】立体几何.【分析】四面体PEFQ的体积,找出三角形△EFQ面积是不变量,P到平面的距离是变化的,从而确定选项.【解答】解:从图中可以分析出,△EFQ的面积永远不变,为面A1B1CD面积的,而当P点变化时,它到面A1B1CD的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化.故选D.【点评】本题考查棱锥的体积,在变化中寻找不变量,是中档题.9.如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为()A.AC⊥BD-25-\nB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行,再利用线面平行推导线线平行,这样就把AC、BD平移到正方形内,即可利用平面图形知识做出判断.【解答】解:因为截面PQMN是正方形,所以PQ∥MN、QM∥PN,则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA,所以PQ∥AC,QM∥BD,由PQ⊥QM可得AC⊥BD,故A正确;由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角,故D正确;综上C是错误的.故选C.【点评】本题主要考查线面平行的性质与判定.10.在四棱锥S﹣ABCD中,为了推出AB⊥BC,需从下列条件:①SB⊥面ABCD;②SC⊥CD;③CD∥面SAB;④BC⊥CD中选出部分条件,这些条件可能是()A.②③B.①④C.②④D.③④【考点】棱锥的结构特征.【专题】数形结合;分析法;空间位置关系与距离.【分析】逐项分析条件,得出每一个条件推出的结论,然后分析选项,得出答案.【解答】解:若三棱锥满足条件①∵SB⊥面ABCD,AB⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴SB⊥AB,SB⊥BC,SB⊥CD,SB⊥AD;若三棱锥满足条件②侧面SCD是直角三角形;若三棱锥满足条件③∵CD∥面SAB,CD⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面SAB=AB,∴CD∥AB,-25-\n∴底面ABCD是梯形;若三棱锥满足条件④则底面ABCD内,∠BCD=90°,综上,当满足条件③④时,底面ABCD为直角梯形,直腰为BC,∴AB⊥BC.故选D.【点评】本题考查了空间线面的位置关系,正确分析每一个条件是重点.11.如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH垂直平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成角为45°【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】如上图,正方体的体对角线AC1有以下性质:①AC1⊥平面A1BD,AC1⊥平面CB1D1;②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分;③AC1=AB等.(注:对正方体要视为一种基本图形来看待.)-25-\n【解答】解:因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥,所以顶点A在底面的射影H是底面中心,所以选项A正确;易证面A1BD∥面CB1D1,而AH垂直平面A1BD,所以AH垂直平面CB1D1,所以选项B正确;连接正方体的体对角线AC1,则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等,所以AC1⊥平面A1BD,则直线A1C与AH重合,所以选项C正确;故选D.【点评】本题主要考查正方体体对角线的性质.12.如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M、N分别在AD1,BC上移动,并始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象与图象变化;直线与平面平行的性质.【专题】压轴题;数形结合.【分析】由MN∥平面DCC1D1,我们过M点向AD做垂线,垂足为E,则ME=2AE=BN,由此易得到函数y=f(x)的解析式,分析函数的性质,并逐一比照四个答案中的图象,我们易得到函数的图象.【解答】解:若MN∥平面DCC1D1,则|MN|==即函数y=f(x)的解析式为f(x)=(0≤x≤1)其图象过(0,1)点,在区间上呈凹状单调递增-25-\n故选C【点评】本题考查的知识点是线面平行的性质,函数的图象与性质等,根据已知列出函数的解析式是解答本题的关键.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸上).13.如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条,这些直线中共有f(n)对异面直线,则f(4)=12;f(n)=.(答案用数字或n的解析式表示)【考点】进行简单的合情推理.【专题】规律型.【分析】本题主要考查合情推理,以及经历试值、猜想、验证的推理能力.凸多面体是n棱锥,共有n+1个顶点,过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线,过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线(边或对角线),综合起来不难得到第一空的答案,因为底面上所有的直线均共面,故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线.【解答】解:凸多面体是n棱锥,共有n+1个顶点,所以可以分为两类:侧棱共有n条,底面上的直线(包括底面的边和对角线)条两类合起来共有条.在这些直线中,每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面,底面上共有直线(包括底面的边和对角线)条,其中不过某个顶点的有=条所以,f(n)=,f(4)=12.故答案为:,12,.-25-\n【点评】一题多空是高考数学卷中填空题的一种新形式,结合合情推理出现一题多空,较好地再现了推理的过程.三空的问题环环相扣,难易程度十分合理,前两空简单易求,第三空难度有所增加,需要学生具备较高层次的数学思维能力.本题以组合计算为工具,考查了类比与归纳、探索与研究的创新能力.14.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是①③④⑤(写出所有正确结论的编号).①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.【考点】棱柱的结构特征.【专题】综合题.【分析】先画出图形,再在底面为正方形的长方体上选择适当的4个顶点,观察它们构成的几何形体的特征,从而对五个选项一一进行判断,对于正确的说法只须找出一个即可.【解答】解:如图:①正确,如图四边形A1D1BC为矩形②错误任意选择4个顶点,若组成一个平面图形,则必为矩形或正方形,如四边形ABCD为正方形,四边形A1D1BC为矩形;③正确,如四面体A1ABD;④正确,如四面体A1C1BD;⑤正确,如四面体B1ABD;则正确的说法是①③④⑤.故答案为①③④⑤-25-\n【点评】本题主要考查了点、线、面间位置特征的判断,棱柱的结构特征,能力方面考查空间想象能力和推理论证能力,属于基础题.找出满足条件的几何图形是解答本题的关键.15.如图是一体积为72的正四面体,连接两个面的重心E、F,则线段EF的长是.【考点】棱锥的结构特征.【专题】计算题;作图题;综合题.【分析】如图,求出正四面体的棱长,然后求出线段EF的长.【解答】解:设正四面体的棱长为a,则正四面体的体积为=72,a=6,EF=,故答案为:.【点评】本题考查棱锥的结构特征,考查计算能力,空间想象能力,是基础题,正四面体的体积、表面积、内切球半径、外接球半径、正四面体的高等,都是应该记忆的.16.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+log23)=.【考点】分段函数的应用.【专题】计算题.【分析】判断的范围代入相应的解析式求值即可【解答】解:∵2+log23<4,-25-\n∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)==故应填【点评】本题考查分段函数求值及指数对数去处性质,对答题者对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,C∈α,点B∈β,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,AB,CD所在直线异面,且AE:EB=CF:FD(Ⅰ)求证:EF∥β;(Ⅱ)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.【专题】计算题;证明题.【分析】(Ⅰ)直接连接AD,作EG∥BD交AD于点G,连接FG;结合AE:EB=CF:FD可得EG∥β,FG∥α;进而得到平面EFG∥β即可证得结论;(Ⅱ)结合第一问中的结论和AC,BD所成的角为60°可以得到EG=BD=3,FG=AC=2以及∠EGF=120°或60°;最后利用余弦定理即可求出结论.【解答】(Ⅰ)证明:连接AD,作EG∥BD交AD于点G,连接FG,因为AE:EB=CF:FD∴EG∥BD,FG∥AC,则EG∥β,FG∥α,∵α∥β∴FG∥β;-25-\n又因为;EG∩FG=G.∴平面EFG∥β而EF⊂平面EFG;∴EF∥β(Ⅱ)解:∵EG∥BD,FG∥AC且E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6;∴EG=BD=3,FG=AC=2∵AC,BD所成的角为60°,∴∠EGF=120°或60°∴EF===;或EF==即.【点评】本题主要考查空间中线段距离的计算以及线面平行的判定.在求线段长度问题是,一般是放在三角形中,借助于正弦定理或余弦定理求解.18.△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,向量=(2sinB,2﹣cos2B),=(2sin2(+),﹣1)且⊥.(1)求角B的大小;(2)若a=,b=1,求c的值.【考点】两角和与差的正弦函数;数量积的坐标表达式;余弦定理.【专题】计算题.【分析】(1)根据得关于角B的三角函数的方程,解方程即可求出角B;-25-\n(2)求出角B后,根据余弦定理可得一个关于c的一元二次方程,解这个方程求解c值.【解答】解:(1)由于,所以,所以,即,即2sinB+2sin2B﹣2+1﹣2sinB2=0,解得.由于0<B<π,所以或;(2)由a>b,得到A>B,即B=,由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,代入得:1=3+c2﹣2c•或1=3+c2﹣2c•(﹣),即c2+3c+2=0(无解)或c2﹣3c+2=0,解得c=1或c=2.【点评】本题考查三角形中三角恒等变换、解三角形.方程思想在三角形问题中的应用极为广泛,根据已知条件可得方程、根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等都可以得到方程,解三角形问题的实质就是根据有关定理列方程求解未知元素.19.已知数列{an}的前项和为sn,且满足.(1)求证:是等差数列;(2)求{an}的表达式.【考点】数列递推式;等差关系的确定.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(1)由,两边取倒数得,即可证明.(2)利用(1)即可得出Sn,再利用“当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出.-25-\n【解答】解:(1)由,两边取倒数得,即.∴是首项为,2为公差的等差数列;(2)由(1)可得:=,∴.当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1==.∴.【点评】本题考查了“当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1”、通过取倒数法转化为等差数列的方法等基础知识与基本方法,属于难题.20.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD,E是棱PA的中点.(1)求证:PC∥平面EBD;(2)求三棱锥P﹣EBD的体积.【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】综合题;空间位置关系与距离.【分析】(1)连接AC,设AC、BD交点为O,利用EO是△PAC的中位线,可得PC∥EO,利用线面平行的判定,可得PC∥平面EBD;(2)取AB中点H,先证明PH⊥平面ABCD.取AH中点F,可证EF⊥平面ABCD,进而可求三棱锥P﹣EBD的体积.【解答】(1)证明:在矩形ABCD中,连接AC,设AC、BD交点为O,则O是AC中点.又E是PA中点,所以EO是△PAC的中位线,所以PC∥EO…-25-\n又EO⊂平面EBD,PC⊄平面EBD.所以PC∥平面EBD…(2)解:取AB中点H,则由PA=PB,得PH⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD.…..取AH中点F,由E是PA中点,得EF∥PH,所以EF⊥平面ABCD.∵,由题意可求得:S△ABD=,PH=,EF=,…..则.…..【点评】本题考查线面平行、线面垂直,考查三棱锥体积的计算,掌握线面平行、线面垂直的判定是解题的关键.21.如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点,二面角PADB为60°.(1)证明:平面PBC⊥平面ABCD;(2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离;空间角.-25-\n【分析】(1)连接PE,BE,由已知推导出∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角,推导出BE⊥PB,BE⊥BC,由此能证明平面PBC⊥平面ABCD.(2)连接BF,由BE⊥平面PBC,得∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角,由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【解答】证明:(1)连接PE,BE,∵PA=PD,BA=BD,而E为AD中点,∴PE⊥AD,BE⊥AD,∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角.在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=,AD=2,解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60˚,由余弦定理,解得PB==,∴∠PBE=90˚,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,∴BE⊥BC,∴BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD,∴平面PBC⊥平面ABCD.解:(2)连接BF,由(1)知,BE⊥平面PBC,∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角.∵PB=,∠ABP为直角,MB=PB=,∴AM=,∴EF=.又BE=1,∴在直角三角形EBF中,sin∠EFB==.∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.-25-\n22.如图,正方体ABCD=A1B1C1D1,棱长为a,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF=x.(1)当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,求二面角B1﹣EF﹣B的正切值;(2)求异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围.【考点】异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】空间位置关系与距离;空间角.【分析】(1)由已知得=≤=,从而当x=时,三棱锥B1﹣BEF的体积最大.取EF中点O,则∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角,由此能求出当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,二面角B1﹣EF﹣B的正切值.(2)在AD上取点H,使AH=BF=AE,则HF∥CD∥A1B1,A1H∥B1F,从而∠HA1E(或补角)是异面直线A1E与B1F所成的角,由此利用余弦定理能求出异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围.【解答】解:(1)∵正方体ABCD=A1B1C1D1,棱长为a,E、F分别为AB、BC上的点,且AE=BF=x,∴=≤=,∴当a﹣x=x,即x=时,三棱锥B1﹣BEF的体积最大.取EF中点O,∵BO⊥EF,B1O⊥EF,∴∠B1OB是二面角B1﹣EF﹣B的平面角.在Rt△BEF中,BO===a,∴tan∠B1OB===2.∴当三棱椎B1﹣BEF的体积最大时,二面角B1﹣EF﹣B的正切值为.(2)在AD上取点H,使AH=BF=AE,则HF∥CD∥A1B1,∵HF=CD=A1B1,A1H∥B1F,∴∠HA1E(或补角)是异面直线A1E与B1F所成的角,-25-\n在Rt△A1AH中,,在Rt△A1AE中,,在Rt△HAE中,HE==,在△HA1E中,cos∠HA1E==,∵0<x≤a,∴a2<x2+a2≤2a2,,∴,∴异面直线A1E与B1F所成的角的取值范围是[,1).【点评】本题考查三棱椎的体积最大时,二面角的正切值的求法,考查异面直线所成的角的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意余弦定理的合理运用和空间思维能力的培养.-25-

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