2022-2022学年山东省潍坊市安丘一中高三（上）10月月考数学试卷（文科）　一.选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合P={x|x（x﹣3）＜0}，Q={x|﹣2＜x＜2}，则P∩Q=（　　）A．（﹣2，0）B．（2，3）C．（0，2）D．（﹣2，3）　2．“θ≠”是“cosθ≠”的（　　）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件　3．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（　　）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形　4．在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=200，则4a5﹣2a3的值为（　　）A．80B．60C．40D．20　5．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（　　）A．a＞b⇒am2＞bm2B．C．D．　6．函数是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）A．（0，1）B．C．D．　-20-\n7．函数f（x）=的图象大致为（　　）A．B．C．D．　8．将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（　　）A．﹣B．C．D．　9．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（﹣x），且xf′（x）＜0，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（21.6），则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a　10．设f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=x1∈（﹣1，0）时取得极大值，当x=x2∈（0，1）时取得极小值，则2b﹣a的取值范围为（　　）A．（﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1）D．（﹣2，﹣1）　　二.填空题（每小题5分，共25分）11．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，））的部分图象如图所示，其中点P是图象的最高点，则f（）=　　　　　　．　-20-\n12．已知函数f（x）=﹣x3+2ax，x∈，若f（x）在上是增函数，则实数a的取值范围为　　　　　　．　13．若，，，则=　　　　　　．　14．Sn是数列{bn}的前n项和，且有Sn=2+bn，则数列{bn}的通项公式为　　　　　　．　15．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有　　　　　　个．　　三.解答题（6小题，共75分）16．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=cx在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．　17．已知函数（1）求f（x）的最小正周期及其单调增区间．（2）当时，求f（x）的值域．　18．已知数列{an}满足an+1+an﹣1=2an（n∈N*，n≥2），且a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；-20-\n（2）令bn=（n∈N*），数列{bn}的前n项和Tn，求证Tn＜．　19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．　20．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为A，当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？　21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．　　-20-\n2022-2022学年山东省潍坊市安丘一中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析　一.选择题（每小题5分，共50分）1．已知集合P={x|x（x﹣3）＜0}，Q={x|﹣2＜x＜2}，则P∩Q=（　　）A．（﹣2，0）B．（2，3）C．（0，2）D．（﹣2，3）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出x（x﹣3）＜0的解集，即求出集合P，再由交集的运算求出P∩Q．解答：解：由x（x﹣3）＜0得，0＜x＜3，则集合P=（0，3），又Q={x|﹣2＜x＜2}，所以P∩Q=（0，2），故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．　2．“θ≠”是“cosθ≠”的（　　）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，进行判断，从而得到答案．解答：解：若θ=﹣，则cosθ=，不是充分条件，若cosθ≠，则θ≠，是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．　3．在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（　　）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形-20-\n考点：两角和与差的正弦函数．分析：根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B﹣A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．解答：解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．∴cosAsinB﹣sinAcosB=0．∴sin（B﹣A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B点评：在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是180°，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．　4．在等差数列{an}中，若a3+a5+a7+a9+a11=200，则4a5﹣2a3的值为（　　）A．80B．60C．40D．20考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a7的值，而要求的式子可转化为2a7，可得答案．解答：解：∵在等差数列{an}中，a3+a5+a7+a9+a11=200，∴5a7=200，解得a7=40，设等差数列的公差为d，则4a5﹣2a3=4（a7﹣2d）﹣2（a7﹣4d）=2a7=80故选：A点评：本题考查等差数列的性质，得出a7的值，并把要求的式子转化为a7是解决问题的关键，属中档题．　5．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（　　）-20-\nA．a＞b⇒am2＞bm2B．C．D．考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：根据不等式两边同乘以0、负数判断出A、B不对，再由不等式两边同乘以正数不等号方向不变判断C对、D不对．解答：解：A、当m=0时，有am2=bm2，故A不对；B、当c＜0时，有a＜b，故B不对；C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到，故C正确；D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到，故D不对．故选C．点评：本题考查了不等式两边同乘以一个数对应的性质应用，注意次数与零的关系，即乘以负数不等号改变方向，乘以正数不等号不改变方向等．　6．函数是R上的减函数，则a的取值范围是（　　）A．（0，1）B．C．D．考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：先根据函数y=﹣x+3a在（﹣∞，0）是减函数，再根据函数y=ax在　7．函数f（x）=的图象大致为（　　）A．B．C．D．考点：函数的图象．-20-\n专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数表达式，分子、分母同乘以2x得：，再验证：当x＞0时的函数值y＜0，只有A符合．解答：解：函数表达式的分子、分母同乘以2x得：，当x＞0时，2x＞1，1﹣2x＜0，∴，而选项BCD中的图象在当x＞0时，函数的函数值都小于0，只有A符合，故选：A．点评：本题主要考查函数的解析式的变形技巧，利用函数的性质再结合排除法对于解选择题是很好的方法．　8．将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（　　）A．﹣B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：由题意可得，将函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数为y=sin（x++φ）为奇函数，则φ的最小值为，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．　-20-\n9．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（﹣x），且xf′（x）＜0，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（21.6），则a，b，c的大小关系是（　　）A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据已知条件知，f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为减函数，所以可考虑将f（x）自变量的值变到区间（0，+∞）上，根据f（x）在（0，+∞）上的单调性比较对应函数值的大小：容易判断出0＜log47＜2，，0，21.6＞2，并且．所以比较log47和﹣的大小，可利用换底公式将上面两个对数式都化成以2为底，即可比较这两个对数值的大小，从而比较出的大小关系，根据f（x）在（0，+∞）上的单调性便可判断出a，b，c的大小关系．解答：解：解xf′（x）＜0得，x＞0时，f′（x）＜0，x＜0时，f′（x）＞0；即f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增；并且该函数为偶函数；∵﹣2＜，0＜log47＜2，21.6＞2；f（x）为偶函数，∴，且0；∴需比较﹣与log47的大小：∵，；∵；∴，即；∴；又函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；-20-\n∴，即c＜b＜a．故选D．点评：考查偶函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及换底公式．　10．设f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=x1∈（﹣1，0）时取得极大值，当x=x2∈（0，1）时取得极小值，则2b﹣a的取值范围为（　　）A．（﹣3，1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1）D．（﹣2，﹣1）考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出范围．解答：解：解：∵f（x）=x3+ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b，∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极大值，在区间（0，1）内取得极小值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有一个根，即f′（0）＜0，f′（1）＞0，f′（﹣1）＞0，即a，b满足，令t=2b﹣a，画出a，b满足的平面区域为三角形区域（不含边界）和直线l：2b﹣a=0，当l经过点（0，﹣1）时，t=﹣2，当经过点（﹣1，0）时，t=1，即2b﹣a的取值范围为（﹣2，1）．故选B．-20-\n点评：本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程的实根分布，结合二次函数的图象，以及应用线性规划的知识求范围，是一道中档题．　二.填空题（每小题5分，共25分）11．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，））的部分图象如图所示，其中点P是图象的最高点，则f（）=　﹣　．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先根据函数的图象确定函数的解析式，即确定函数中ω和Φ的值，进一步求出函数的值．解答：解：根据函数的图象得：T=π所以：，求得：ω=2当x=时，f（x）=2解得：Φ=函数f（x）=2sin（2x+）当x=时，f（）=-20-\n故答案为：点评：本题考查的知识要点：利用正弦型函数图象求ω和Φ的值，进一步利用函数的解析式求函数的值．　12．已知函数f（x）=﹣x3+2ax，x∈，若f（x）在上是增函数，则实数a的取值范围为　上是增函数⇔∀x∈，f'（x）≥0恒成立，即恒成立，⇔在x∈上，．故答案为：时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间内零点的个数有　12　个．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为8个．解答：解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，因为x∈时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数g（x）=的图象，-20-\n容易得出到交点为12个．故答案为：12点评：考查答题者使用图象辅助作题的意识与能力，属于中档题．　三.解答题（6小题，共75分）16．（12分）（2022秋•莲湖区校级期末）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=cx在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数y=cx在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．解答：解∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．（5分）又∵“p或q”为真，“p且q”为假，-20-\n∴p真q假，或p假q真．（6分）①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．（8分）②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．综上所述，实数c的取值范围是{c|}．（12分）点评：本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数的性质的灵活运用．　17．已知函数（1）求f（x）的最小正周期及其单调增区间．（2）当时，求f（x）的值域．考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的正确，利用函数的单调性求出函数的单调增区间．（2）结合x的范围求出2x+的范围，通过正弦函数的值域求解f（x）的值域．解答：解：（1）函数=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1．所以函数的最小正周期是=π．2x+，k∈Z，所以f（x）的单调增区间，k∈Z，（2）因为，所以2x+∈，2sin（2x+）+1∈．所以f（x）的值域为．-20-\n点评：本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的正弦函数以及性质，考查计算能力．　18．已知数列{an}满足an+1+an﹣1=2an（n∈N*，n≥2），且a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn=（n∈N*），数列{bn}的前n项和Tn，求证Tn＜．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）直接由数列递推式得到数列为等差数列，然后由已知列方程组求出首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和公式得答案；（2）把数列的通项公式代入bn=，利用裂项相消法求和，再放缩得答案．解答：（1）解：由数列{an}满足an+1+an﹣1=2an，可知数列{an}为等差数列，设数列{an}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴，解得．∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．；（2）证明：由（1）知an=2n+1．∴bn==．∴=．当n→∞时，→0．故Tn＜．-20-\n点评：本题考查了由等差中项的概念确定数列为等差数列，考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．　19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：解三角形．专题：计算题．分析：（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c解答：解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=∴A﹣30°=30°∴A=60°（2）由由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12∴b+c=4解得：b=c=2点评：本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式-20-\n　20．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为A，当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，-20-\n①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．　21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想．分析：（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）先把f（x0）＜g（x0）成立转化为h（x0）＜0，即函数在上的最小值小于零；再结合（Ⅱ）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，，（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）极小-20-\n（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1．（4分）（Ⅱ），（6分）①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）（III）在上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在上的最大值小于零．（9分）由（Ⅱ）可知①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在上单调递增，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分）③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时，h（1+a）＜0不成立．（12分）-20-\n综上讨论可得所求a的范围是：或a＜﹣2．（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．　-20-