2021—2022高中一年级教学质量测试数学科试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】D2.如图是一个长方体展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB与线段CD所在的直线（）A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线【答案】C3.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（）\nA.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的中位数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B4.已知m，n，l是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D5.在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（）A.B.或C.D.或\n【答案】A6.若随机事件满足，，，则事件与的关系是（）A.互斥B.相互独立C.互为对立D.互斥且独立【答案】B7.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）A.B.AB与平面所成的角为C.D.与平面所成的角为【答案】D8.如图，在△ABC中，，，BE交CF于点P，，则（）A.B.C.D.【答案】A二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.\n9.已知复数（i为虚数单位），对于复数的以下描述，正确的有（）A.B.C.的共轭复数为D.在复平面内对应的点在第三象限【答案】BD10.已知点O，N在△ABC所在平面内，且，，则点O，N分别是△ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】AC11.一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）A.若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为B.若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为C.若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为D.若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为【答案】ACD12.在正方体ABCD—中，，点P在线段上运动，点Q在线段上运动，则下列说法中正确的有()A.当P为中点时，三棱锥P-的外接球半径为B.线段PQ长度的最小值为2C.三棱锥-APC的体积为定值D.平面BPQ截该正方体所得截而可能为三角形、四边形、五边形\n【答案】ABC三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，则向量的单位向量的坐标是___________.【答案】14.为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3000，4000）（单位：元）内的应抽取________人.【答案】4015.正四面体相邻两侧面所成二面角的正弦值是________【答案】16.某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行.某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可推测出今天是星期___________.【答案】四四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知，（1）设，的夹角为，求的值；（2）若向量与互相垂直，求k的值\n【答案】（1）；（2）．18.在中，．（1）求C；（2）若，的面积为6，求c的值．【答案】（1）（2）19.圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.（1）证明：面.（2）求圆柱的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，，，根据面面垂直的性质，可得，证明四边形为平行四边形，从而可得，再证明四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）连接，证明平面，从而可得，即可求得圆柱的底面圆的半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解.【小问1详解】\n证明：连接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；【小问2详解】解：连接，∵，∴，∵垂直上底面，∴，∵，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，，∴圆柱的体积为.\n20.《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）质量指标值产品6010016030020010080（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数.（2）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；（3）设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，）\n【答案】（1）69（2）平均数61和方差241（3）不能判定生产线技术改造成功21.下图，直线与的边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：.【答案】证明见详解【解析】【分析】根据图形易得，结合数量积可得，根据数量积的定义代入运算整理即可，注意向量夹角的分析理解．【详解】∵，则，即又∵∴即22.重庆是我国著名“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.\n（1）将、用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？【答案】（1），；（2）当时，取最大值.