内江市２０２１～２０２２学年度第二学期高一期末检测题数学（理科）本试卷共４页，全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。注意事项：１．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置．２．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。３．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上。４．考试结束后，监考人员将答题卡收回。一、选择题：（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的指定位置上．）１．ｃｏｓ８０°ｓｉｎ４０°＋ｃｏｓ４０°ｓｉｎ８０°＝槡３槡３Ａ．ｃｏｓ４０°Ｂ．－ｓｉｎ４０°Ｃ．－Ｄ．２２→→→→，则→→２．已知ａ＝（２，１），ｂ＝（ｘ，２），若ａ⊥ｂ｜３ａ－ｂ｜＝Ａ．５０Ｂ．５槡２Ｃ．槡５Ｄ．５３．已知｛ａｎ｝为等差数列，且２ａ３＋ａ６＝６，则ａ４＝Ａ．２Ｂ．３Ｃ．１２Ｄ．不能确定４．若ａ＞ｂ＞ｃ，则１１１１Ａ．＜Ｂ．ａ－ｂ＞ｂ－ｃＣ．＜Ｄ．ａｃ＜ｂｃａｂａ－ｃｂ－ｃπ，３５．△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａｃｏｓＢ＝ｂｓｉｎＡ，Ｃ＝ｃ＝，则ｂ＝３２Ａ．槡６Ｂ．３槡２Ｃ．３槡２＋槡６Ｄ．３槡３－３２２４２２｝中，π６．在等比数列｛ａｎａ１＞０，ａ３·ａ１１＝，则ｔａｎａ７＝９槡３Ａ．±槡３Ｂ．－槡３Ｃ．槡３Ｄ．３｝是等比数列，且ａ８＋ａ７１７．已知数列｛ａｎａ１＝１，＝２７，则｛－｝的前ｎ项和为ａ５＋ａ４ａｎｎ２３１３１ｎ（－３）－１Ａ．Ｂ．（－１）Ｃ．［（－）－１］Ｄ．ｎｎ３－１２３４３４Ｓ３Ｓ５８．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓ１＋２，＋４，＋６成等比数列，则公比为３５Ａ．槡２Ｂ．－槡２Ｃ．±１Ｄ．１高一数学（理科）试卷第１页（共４页）\n２２２９．△ＡＢＣ中，ｓｉｎＡ＋ｃｏｓＢ－ｃｏｓＣ－槡３ｓｉｎＡｓｉｎＣ＝０，ＡＢ＝３，则ＡＣ的最小值为３３槡３Ａ．Ｂ．Ｃ．３槡３Ｄ．槡３２２π）π１０．已知２槡３ｃｏｓα－３ｃｏｓ（α－＝１，则ｓｉｎ（２α＋）＝６６１１２槡２２槡２Ａ．－Ｂ．Ｃ．－Ｄ．３３３３→→１１．四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°，∠Ｄ＝１５０°，则ＤＡ·ＤＣ的最小值为Ａ．槡３Ｂ．－槡３Ｃ．３Ｄ．－３１１１）（１１２．已知正实数ａ、ｂ满足＋＝ｍ，若（ａ＋ｂ＋）的最小值为４，则实数ｍ的取值ａｂｂａ范围是Ａ．｛２｝Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．（０，＋∞）二、填空题：（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．）２５π２π１３．ｓｉｎ－ｓｉｎ＝．１２１２ｎ１４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝３＋２０１９，则｛ａｎ｝的通项公式为．→１５．已知点Ａ（０，１），Ｂ（１，－１），Ｐ是函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ，ｘ∈［０，π］图象上的动点，若ＯＰ＝→→λＯＡ＋μＯＢ，则２μ－λ的最大值为．３１６．已知△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ｃ＝４，ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝ｃｏｓＣ＝，则５△ＡＢＣ的周长为．三、解答题：（本大题共６小题，共７０分．解答应写出必要的文字说明、推演步骤．）１７．（本小题满分１０分）已知４，求：０＜α＜π，０＜β＜π，且ｔａｎα＝－７，ｃｏｓβ＝５（１）ｔａｎ（α＋β）；（２）α＋β．高一数学（理科）试卷第２页（共４页）\n１８．（本小题满分１２分）→→ｘｘ→→→已知ａ＝（１，槡３），ｂ＝（ｓｉｎ，ｃｏｓ），函数ｆ（ｘ）＝（ａ＋ｂ）·ｂ．２２（１）求ｆ（ｘ）的最小正周期；（２）已知△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等比数列，ｆ（Ｂ）为函数ｆ（ｘ）的最大值，试判断△ＡＢＣ的形状．１９．（本小题满分１２分）已知等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ３＝４，Ｓ３＝３ａ１．（１）求｛ａｎ｝的通项公式；（２）若｛ａｎ｝的前３项按某种顺序重新排列后是递增等差数列｛ｂｎ｝的第八、九、十项，求｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ的最小值．２０．（本小题满分１２分）已知数列｛１ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且４Ｓｎ＝（２ｎ＋１）ａｎ＋．２（１）求｛ａｎ｝的通项公式；１｝的前２（２）设数列｛ｎ项和为Ｔｎ，若Ｔｎ＜２ｔ－３ｔ对任意ｎ∈Ｎ恒成立，求实数ｔ的取ａｎａｎ＋１值范围．高一数学（理科）试卷第３页（共４页）\n２１．（本小题满分１２分）已知２→→△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，△ＡＢＣ的面积为Ｓ，若ａ＋２ＡＢ·ＡＣ＝４Ｓ．（π１）求证：Ａ＝；２（３２２２）若ｂ＝１，Ｐ为△ＡＢＣ内一点，且∠ＡＰＢ＝π，求ＰＢ＋ＰＣ的取值范围．４２２．（本小题满分１２分）已知数列｛ａｎ｝满足：ａ１＝－１，ａｎ＋ａｎ＋１＝２ｎ－１（ｎ∈Ｎ）．（１）（ⅰ）直接写出ａ２，ａ３的值；（ⅱ）求｛ａｎ｝的通项公式；ｎ（２）求数列｛３ａｎ｝的前２ｎ项和Ｓ２ｎ．高一数学（理科）试卷第４页（共４页）\n内江市２０２１～２０２２学年度第二学期高一期末检测题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．）１．Ｄ２．Ｂ３．Ａ４．Ｃ５．Ａ６．Ｃ７．Ｂ８．Ｄ９．Ａ１０．Ｂ１１．Ｄ１２．Ｂ二、填空题：（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．）槡３２０２２，ｎ＝１１３．１４．ａｎ＝１５．π＋１１６．１０２{２·３ｎ－１，ｎ≥２三、解答题：（本大题共６小题，共７０分．）２３１７．解：（１）因为０＜β＜π，所以ｓｉｎβ＝槡１－ｃｏｓβ＝５所以ｓｉｎβ３ｔａｎβ＝＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分ｃｏｓβ４３－７＋所以ｔａｎα＋ｔａｎβ４ｔａｎ（α＋β）＝＝＝－１!!!!!!!!!!!!５分１－ｔａｎαｔａｎβ３１－（－７）×４π（２）因为０＜β＜π，且ｃｏｓβ＞０，所以０＜β＜!!!!!!!!!!!!!!!!７分２所以３π０＜α＋β＜!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分２所以３πα＋β＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分４→·→→２ｘｘｘπ１８．解：（１）ｆ（ｘ）＝ａｂ＋ｂ＝ｓｉｎ＋槡３ｃｏｓ＋１＝２ｓｉｎ（＋）＋１!!!!!!!!３分２２２３所以ｆ（ｘ）的最小正周期为４π!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（２２）ａ、ｂ、ｃ成等比数列ｂ＝ａｃ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分Ｂππ，５π）ＢπππＢ∈（０，π）＋∈（＋＝Ｂ＝!!!!!!!!!!!!８分２３３６２３２３由余弦定理得２２２２２ｂ＝ａ＋ｃ－２ａｃｃｏｓＢ＝ａ＋ｃ－ａｃ!!!!!!!!!!!!!!９分所以２２２ａｃ＝ａ＋ｃ－ａｃ（ａ－ｃ）＝０ａ＝ｃ!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分所以△ＡＢＣ为等边三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分１９．解：（１）设｛ａｎ｝的公比为ｑ２由Ｓ３＝３ａ１得ａ１＋ａ２＋ａ３＝３ａ１ｑ＋ｑ－２＝０ｑ＝１或－２!!!!!!!!!!３分当ｑ＝１时，ａｎ＝４!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分ｎ－３ｎ－１当ｑ＝－２时，ａｎ＝４·（－２）＝（－２）!!!!!!!!!!!!!!!!!５分所以ｎ－１ａｎ＝４或ａｎ＝（－２）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分ｎ－１（２）由于｛ｂｎ｝为递增数列，所以ａｎ＝（－２）!!!!!!!!!!!!!!!!７分所以｛ａｎ｝的前３项为１、－２、４，所以ｂ８＝－２，ｂ９＝１，ｂ１０＝４!!!!!!!!!!９分所以｛ｂｎ｝的公差为３高一数学（理科）试题答案第１页（共３页）\n８×７由于ｂ８＜０，ｂ９＞０，所以（Ｔｎ）ｍｉｎ＝Ｔ８＝８×（－２）＋×（－３）＝－１００!!!!１２分２１２０．解：（１）４Ｓｎ＝（２ｎ＋１）ａｎ＋①２４Ｓｎ－１＝（２ｎ－１）ａｎ－１（ｎ≥２）②①－②得４ａｎ＝（２ｎ＋１）ａｎ－（２ｎ－１）ａｎ－１（ｎ≥２）!!!!!!!!!!!!!!２分（２ｎ－３）ａｎ＝（２ｎ－１）ａｎ－１（ｎ≥２）ａｎａｎ－１（ａｎ＝ｎ≥２）｛｝是常数列!!!!!!!!!!!!!!!!４分２ｎ－１２ｎ－３２ｎ－１１１ａ１１ａｎ１又４Ｓ１＝３ａ１＋ａ１＝＝，所以＝，!!!!!!!!!!５分２２２×１－１２２ｎ－１２１所以ａｎ＝ｎ－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分２（１１１１２）＝＝－!!!!!!!!!!!!!!７分ａｎａｎ＋１（ｎ－１）（ｎ＋１）ｎ－１ｎ＋１２２２２１１１１１１Ｔｎ＝－＋－＋…＋－１３３５１１ｎ－ｎ＋２２２２２２１＝２－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分１ｎ＋２因为Ｔｎ关于ｎ单增，且ｎ→＋∞时，Ｔｎ→２!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分所以２１２ｔ－３ｔ≥２ｔ≥２或ｔ≤－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１１分２所以１ｔ的取值范围是（－∞，－］∪［２，＋∞）!!!!!!!!!!!!!!!１２分２２→→２２２２１．解：（１）ａ＋２ＡＢ·ＡＣ＝４Ｓａ＋２ｂｃｃｏｓＡ＝２ｂｃｓｉｎＡｂ＋ｃ＝２ｂｃｓｉｎＡ!!!!!!!２分因为２２ｂ＋ｃ≥２ｂｃ，所以２ｂｃｓｉｎＡ≥２ｂｃｓｉｎＡ≥１（当且仅当ｂ＝ｃ时等号成立）!!!４分又ｓｉｎＡ≤１，所以ｓｉｎＡ＝１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分因为π０＜Ａ＜π，所以Ａ＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分２π（２）由（１）知ｃ＝ｂ＝１，所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝!!!!!!!!!!!!!!!７分４令ππ∠ＰＡＢ＝θ，则∠ＰＢＡ＝－θ，∠ＰＡＣ＝－θ４２ＰＡＰＢＡＢ在△ＰＡＢ中，由＝＝得ｓｉｎ∠ＰＢＡｓｉｎ∠ＰＡＢｓｉｎ∠ＡＰＢＰＡＰＢ１π＝＝ＰＡ＝槡２ｓｉｎ（－θ），ＰＢ＝槡２ｓｉｎθ!!!!!!!!!８分πｓｉｎθ３π４ｓｉｎ（－θ）ｓｉｎ４４在２２２△ＰＡＣ中，由ＰＣ＝ＰＡ＋ＡＣ－２ＰＡ·ＡＣｃｏｓ∠ＰＡＣ得２２π２ＰＣ＝ＰＡ＋１－２ＰＡｃｏｓ（－θ）＝ＰＡ＋１－２ＰＡｓｉｎθ!!!!!!!!!!!!!９分２高一数学（理科）试题答案第２页（共３页）\n２２２２（ππ所以ＰＢ＋ＰＣ＝２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ－θ）＋１－２槡２ｓｉｎ（－θ）ｓｉｎθ４４π）＝４－２槡２ｓｉｎ（２θ＋!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分４π０＜θ＜由２得π０＜θ＜{ππ４０＜－θ＜４４所以ππ３ππ２π２θ＋∈（，）ｓｉｎ（２θ＋）∈（槡，１］４－２槡２ｓｉｎ（２θ＋）∈［４－２槡２，２）．４４４４２４所以２２ＰＢ＋ＰＣ的取值范围是［４－２槡２，２）!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２２．解：（ⅰ）ａ２＝２，ａ３＝１!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分（ⅱ）ａｎ＋ａｎ＋１＝２ｎ－１①ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝２ｎ＋１②②－①得ａｎ＋２－ａｎ＝２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!３分所以ａ１，ａ３，ａ５，…和ａ２，ａ４，ａ６，…均是以２为公差的等差数列ｎ＋１所以，当ｎ为奇数时，ａｎ＝ａ１＋（－１）×２＝ｎ－２!!!!!!!!!!!!!４分２当ｎｎ为偶数时，ａｎ＝ａ２＋（－１）×２＝ｎ!!!!!!!!!!!!!!!!５分２所以ｎ－２，ｎ为奇数ａｎ＝{为偶数!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!分ｎ，ｎ６（２３４２ｎ－２２ｎ－１２ｎ２）Ｓ２ｎ＝－１×３＋２×３＋１×３＋４×３＋…＋（２ｎ－２）·３＋（２ｎ－３）·３＋２ｎ·３３４５６２ｎ２ｎ＋１２ｎ＋２９Ｓ２ｎ＝－１×３＋２×３＋１×３＋４×３＋…＋（２ｎ－２）·３＋（２ｎ－３）·３＋２ｎ·３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分两式相减得３４２ｎ）２ｎ＋１２ｎ＋２－８Ｓ２ｎ＝１５＋２（３＋３＋…＋３－（２ｎ－３）·３－２ｎ·３３２ｎ·３－３３２ｎ＋１２ｎ＋２＝１５＋２×－（２ｎ－３）·３－２ｎ·３１－３２ｎ＋１＝－１２＋（４－８ｎ）·３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分２ｎ＋１所以３＋（２ｎ－１）·３Ｓ２ｎ＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分２高一数学（理科）试题答案第３页（共３页）