2021学年第二学期期末教学质量监测高二数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.用1，2，3，4组成没有重复数字的两位数，这样的两位数个数为（）A.6B.12C.16D.24【答案】B2.一质点A沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为，则质点A在s时的瞬时速度为（）A.m/sB.5m/sC.6m/sD.8m/s【答案】C3.已知随机变量服从正态分布，，则（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.8【答案】B4.已知圆与抛物线的准线相切，则（）A.1B.2C.4D.8【答案】C5.某班一天上午有语文、数学、政治、英语、体育5节课，现要安排该班上午的课程表，要求体育课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是（）A.36B.32C.24D.18【答案】A6.函数的导函数为，函数的图象如图所示，下列说法正确的是（）\nA.是的零点B.是的极大值点C.是的极大值点D.是的极大值点【答案】D7.如图，小明从街道处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途径处的概率为（）A.B.C.D.【答案】D8.若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在的“倍函数”，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999—2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图：该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：\n；模型二：，下列说法正确的有（）A.变量与正相关B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况C.若选择模型二，的图象一定经过点D.当时，通过模型计算得GDP值为70，实际GDP值为71，则残差为1【答案】AD10.已知离散型随机变量的分布列为01则下列说法正确的有（）A.B.C.D.【答案】AC11.如图所示，图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图，得到图3，…．记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为，图3中正方形的个数为，…，图中正方形的个数为，下列说法正确的有（）A.B.图5中最小正方形的边长为C.D.若，则图中所有正方形的面积之和为8\n【答案】BCD12.正方形，的棱长为1，，分别为，的中点，下列说法正确的有（）A.直线与平面垂直B.平面截正方体所得的截面周长为C.在线段上存在点，使异面直线与所成的角是30°D.在棱上存在点，使得点和点到平面的距离相等【答案】BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数在点处的切线方程为_____．【答案】14.展开式中的常数项为______.【答案】15.已知甲盒中有3个白球，1个红球，乙盒中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．先从甲盒中任取2个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球．计算从乙盒中取出的是红球的概率为__________．【答案】16.双曲线的左、右焦点分别为，，直线过与双曲线的左支和右支分别交于两点，．若轴上存在点满足，则双曲线的离心率为__________．【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，\n成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）18.推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．为调查居民对垃圾处理情况，某社区居委会随机抽取400名社区居民参与问卷调查并全部收回．经统计，有60%的居民对垃圾分类处理，其中女性占；有40%的居民对垃圾不分类处理，其中男性女性各占．（1）请根据以上信息完成2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为垃圾处理与性别有关？性别垃圾处理合计不分类分类男性女性合计（2）为了提高社区居民对垃圾分类的处理能力，该社区成立了垃圾分类宣传小组，利用周末的时间在社区进行垃圾分类宣传活动，并在每周宣传活动结束后，重新统计对垃圾不分类处理的居民人数，统计数据如下：周次12345对垃圾不分类处理的人数1201051009580请根据所给的数据，建立对垃圾不分类处理的人数与周次之间的经验回归方程，并预测该社区第10周对垃圾不分类处理的人数．\n附：，其中．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，．【答案】（1）列联表见解析，认为对垃圾处理与性别有关，犯错误的概率不大于0.005．（2）；37．19.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，．（1）求证：；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）20.某网购平台为提高销售额，组织该平台的网店开展“优惠券”抽奖活动，网店只提供“10元优惠券”，每位顾客有三次抽奖机会，每次抽中的概率为；网店提供“10元优惠券”和“5元优惠券”两种优惠券，每位顾客有两次抽奖机会，每次抽奖获得“10元优惠券”，“5元优惠券”的概率分别为，．\n（1）若小李参与网店的“优惠券”抽奖活动，求三次抽奖至少获得一张“10元优惠券”的概率．（2）以获得优惠金额的期望值作为决策依据，网店，哪家的优惠力度更大？请说明理由．【答案】（1）（2）网店A优惠力度更大，理由见解析．21.已知椭圆的焦距为2，且过点．不过原点的直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，方程为，或，或，或．22.已知函数，其中是自然对数的底数．（1）求函数的最小值；（2）设函数，当时，求证．【答案】（1）（2）证明见解析