韶关市2021-2022学年度第二学期高二期末检测数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B2.若复数，其中为虚数单位，则在复平面内复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D3.已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（）A.1B.C.D.2【答案】C4.已知两个不同平面，，直线满足，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A5.函数的图像大致是（）A.B.\nC.D.【答案】C6.已知角为第四象限角，且它的终边与单位圆交于点，则（）A.B.C.D.【答案】D7.已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B8.已知定义域为的函数满足：对任意的，有，为偶函数，且当时，，则（）A.0B.1C.2D.3【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.有一组成对样本数据，由这组成对样本数据得到的经验回归方程为，则（）\nA.在点中，至少有1个点在经验回归直线上B.若点都在经验回归直线上，则样本的相关系数满足C.若，，则D.若成对样本数据的残差为，则在这组成对数据中，必有成对样本数据的残差为【答案】BC10.设公差小于0的等差数列的前项和为，若，则（）A.B.C.D.的最大值为或【答案】ACD11.定义，已知，则下列结论正确的是（）A.B.是奇函数C.的一个周期为D.的最大值为【答案】ACD12.设抛物线：的焦点为，点，是抛物线上不同的两点，且，则（）A.线段的中点到的准线距离为4B.直线过原点时，\nC.直线的倾斜角的取值范围为D.线段垂直平分线过某一定点【答案】AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中常数项为____________（用数字作答）．【答案】1514.若单位向量、的夹角为60°，，则实数____________．【答案】15.随着社会的发展与进步，人们更加愿意奉献自己的力量，积极参与各项志愿活动．某地单位甲有10名志愿者（其中8名男志愿者，2名女志愿者），单位乙有15名志愿者（其中9名男志愿者，6名女志愿者）．若从单位甲任选2名志愿者参加某项活动，则恰是一男一女志愿者的概率为____________；若从两单位任选一个单位，然后从中随机选1名志愿者参加某项活动，则该志愿者为男志愿者的概率为____________（以上两空用数字作答）．【答案】①.②.##0.716.在直三棱柱中，，，，设该三棱柱外接球的球心为，若四棱锥的体积为1，则球的表面积是____________．【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列满足，且．（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）\n【小问1详解】因为，所以，所以，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】由（1）可得，所以，所以前项和18.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足____________．①；②；③，（1）从①②③条件中任选一个填在横线上，并求角的值；（2）若的面积为，求的最小值．【答案】（1）（2）219.某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（即有一方先胜四局即获胜，比赛结束）．假设每局比赛甲获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）若甲以3：1的比分领先时，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及期望．\n【答案】（1）（2）分布列见详解，【解析】【分析】（1）分两种情况甲胜或乙胜，如果第5局甲胜则前4局甲胜3局，若第5局乙胜则前4局乙胜3局，即可求出概率；（2）写出的可能取值，求出各情况的概率即可得出结果．【小问1详解】第一种情况：比赛结束时恰好打了5局且甲获胜，则概率为；第二种情况：比赛结束时恰好打了5局且乙获胜，则概率为；所以比赛结束时恰好打了5局的概率为.【小问2详解】依题意得的可能取值为的分布列为．20.如图，四棱锥中，底面是梯形，，侧面，，，是线段的中点．\n（1）求证：；（2）若，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）由已知得，，从而平面，由此能证明．（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；【小问1详解】证明：因为侧面，平面，所以．又因为，是线段的中点，所以．因为，平面，所以平面．而平面，所以．【小问2详解】解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，设，所以，，因为，所以，解得或（舍去），所以，所以，，，，设为平面的法向量，\n由，有，取，所以．设平面的法向量为，由，有，取，所以，设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，所以，所以故锐二面角的平面角的正弦弦值为．21.已知椭圆：的离心率，椭圆过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于A，B两点，若的重心在直线上（为坐标原点），求面积的最大值．\n【答案】（1）（2）22.已知函数．（1）当时，求函数在原点处的切线方程；（2）讨论函数的零点个数．【答案】（1）（2）答案见解析【小问1详解】解：当时，，则，所以，所以函数在原点处的切线方程为；【小问2详解】解：因为，所以，令，解得或，因为，所以，当变化时，与变化如下表：单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以，，令，，所以当时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，\n即，即，所以，所以且，①当时，故，，而时，，所以在上有一个零点，此时有两个零点；②当时，因为，所以，，当时，所以在上无零点，从而只有一个零点，当时，所以在上只有一个零点，从而只有两个零点，当时，所以在上有一个零点，，所以在上有一个零点，从而只有三个零点，③当时，因为，所以，，所以在上只有一个零点，又，当时，所以在上只有一个零点，又易知在上只有一个零点，所以有三个零点，综上可得：当时只有一个零点；当或时有两个零点；\n当且时有三个零点；