珠海市2021—2022学年度第一学期期末普通高中学生学业质量监测高二数学一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.B.C.D.【答案】B2.已知空间向量，，则（）A.B.19C.17D.【答案】D3.已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）A.54B.71C.81D.80【答案】C4.已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B5.已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.\n【答案】C6.已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，，点P到y轴的距离为4，则抛物线C的方程为（）A.B.C.D.【答案】D7.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且下一层灯数是上一层的2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为“求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（）盏.A.192B.128C.3D.1【答案】A8.已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于A，B两点，则的最小值为（）A.B.2C.4D.【答案】A9.如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）\nA.B.C.D.【答案】C10.已知数列的通项公式是，则（）A10100B.-10100C.5052D.-5052【答案】D二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11.已知圆：，则下列说法正确的是（）A.点在圆M内B.圆M关于对称C.半径为D.直线与圆M相切【答案】BD12.如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）\nA.B.C.，D.【答案】BCD三、填空题：本题共44小题，每小题55分，共020分.13.已知直线在两坐标轴上的截距分别为，，则__________.【答案】##14.已知数列是公差不为零的等差数列，，，成等比数列，第1，2项与第10，11项的和为68，则数列的通项公式是________.【答案】15.已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.【答案】16.已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.\n【答案】##四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列的公差为，满足，________?（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和得到最小值时的值.【答案】（1）选择条件见解析，（2）【小问1详解】解：设等差数列的公差为，得，选①，得，故，\n∴.选②，得，得，故，∴.选③，，得，故，∴；【小问2详解】由（1）知，，，∴数列是递增等差数列.由，得，∴时，，时，，∴时，得到最小值.18.如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题\n（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；（2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.【小问1详解】矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故两两垂直，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：\n∵，则，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小问2详解】由（1）知，平面的法向量为，又向量，则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角，设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为，则.故直线与平面所成角正弦值为.19.已知圆过点，，且圆心在直线：上.（1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.【答案】（1）；\n（2）20.如图，三棱锥中，，，，，，点是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上，且.（1）证明：平面CMN；（2）求平面MNC与平面ABC所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标,（1）求出平面的法向量，利用证明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：三棱锥中，，，∴分别以，，，，轴建立如图所示空间直角坐标系\n∵，，点M是PA的中点，点D是AC的中点，点N在PB上且∴，，，，，设平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小问2详解】，，\n∴平面∴为平面的法向量则与的夹角的补角是平面与平面所成二面角的平面角.∴平面与平面所成角的余弦值为.21.已知数列是正项数列，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）22.已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.\n（1）求，的方程；（2）求证：直线和的斜率之积为定值；（3）求证：为定值.【答案】（1）：；：（2）证明见解析（3）证明见解析【小问1详解】由题设知，椭圆离心率为解得∴，∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，∴设双曲线：\n∴的离心率为解得.∴：：；【小问2详解】证明：∵点在上∴设则，∴.∴直线和的斜率之积为定值1；【小问3详解】证明：设直线和的斜率分别为，，则设，：与方程联立消得“*”则，是“*”的二根则则\n同理∴.