2021~2022学年度第二学期质量检测高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．可表示为（）A．B．C．D．2．从1~7这七个数字中选3个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（）A．210B．120C．90D．453．的展开式的第6项的系数为（）A．B．C．D．4．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的（）A．30倍B．25倍C．20倍D．15倍5．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．根据小概率值的独立性检验（），结论为（）A．变量X与Y不独立B．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01C．变量X与Y独立D．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.016．已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（）A．2B．1C．D．7．某人在11次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则k＝（）A．7B．8C．9D．10\n8．已知函数，过点M（1，t）可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对经验回归方程，下列正确的有（）A．决定系数越小，模型的拟合效果越好B．经验回归方程只适用于所研究的样本的总体C．不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值D．残差平方和越小，模型的拟合效果越好10．甲、乙两地举行数学联考，统计发现：甲地学生的成绩，乙地学生的成绩．下图分别是其正态分布的密度曲线，则（）A．甲地数学的平均成绩比乙地的低B．甲地数学成绩的离散程度比乙地的小C．D．若，则（附：若随机变量，则，，）11．下列命题正确的有（）A．现有1、3、7、13四个数，从中任取两个相加得到m个不相等的和；从中任取两个相减得到n个不相等的差，则m＋n＝18B．在的展开式中，含的项的系数为65C．若（a，b为有理数），则b＝－29D．\n12．已知函数有两个极值点，，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则曲线在点（1，1）处的切线的方程为______．14．将4名博士分配到3个不同的实验室，每名博士只分配到一个实验室，每个实验室至少分配一名博士，则不同的分配方案有______种．15．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．16．已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取一件．（Ⅰ）求这件产品是次品的概率；（Ⅱ）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．18．（本小题满分12分）若的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中的常数项为－20．（Ⅰ）求n，a的值；（Ⅱ）若，求．19．（本小题满分12分）某校组织数学知识竞赛活动，比赛共4道必答题，答对一题得4分，答错一题扣2分．学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且各题答对与否互不影响．设甲答对的题数为Y，甲做完4道题后的总得分为X．\n（Ⅰ）试建立X关于Y的函数关系式，并求；（Ⅱ）求X的分布列及．20．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若在上单调递增，求实数m的取值范围；（Ⅱ）求证：时，．21．（本小题满分12分）某公司对其产品研发的年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：x12345y1.523.5815（Ⅰ）求变量x和y的样本相关系数r（精确到0.01），并推断变量x和y的线性相关程度（参考：若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；如果，则线性相关程度较弱）；（Ⅱ）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；（Ⅲ）当公司对其产品研发的年投资额为600万元时，估计产品的年销售量．参考公式：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分别为和．称为变量x和y的样本相关系数．线性回归方程中，，．参考数据：．22．（本小题满分12分）已知函数在区间（－1，0）内存在极值点．\n（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）判断关于x的方程在内实数解的个数，并说明理由．2021~2022学年度第二学期质量检测高二数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1．A2．C3．D4．B5．C6．A7．C8．D二、多项选择题（每小题5分，共20分）9．BCD10．AD11．BC12．BD三、填空题（每小题5分，共20分）13．y＝3x－214．3615．616．四、解答题（共70分）17．（本小题满分10分）解：设事件B为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第i批”．（Ⅰ）由全概率公式，所求概率为．（Ⅱ）所求概率为．18．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意，n＝6．展开式的通项，k＝0，1，…，6．令6－2k＝0，得k＝3．由题意，得，即．\n解得a＝1．（Ⅱ）解法1：又，所以．解法2：由（Ⅰ），知．令，得，即．上式两边同乘以，得．由，令，得．所以．19．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意，X＝4Y－2（4－Y）＝6Y－8．由X＝6Y－8<0，得．所以Y＝0，1．所以．（Ⅱ）由题意，知．X与Y的对应值表为：\nY01234X－8－241016于是，；；；；．法1：．法2：．20．（本小题满分12分）（Ⅰ）因为在单调递增，所以在恒成立，即．所以．令，显然在上单调递减，所以在上的最大值为．因此，．（Ⅱ）当时，．只需证明．证法1：令，则函数的定义域为．．因为是增函数，在上单调递增，\n所以在上单调递增．又因为，，由零点存在性定理，存在唯一的，使得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，．由，得，．于是．所以，．证法2：要证，即证．设，则．；，所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增．所以．设，则．；，所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减．所以．可见，．所以原结论成立．\n证法3：要证明，而，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号．所以，即．注：证明，各得3分，给出取等的条件各得1分．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，，，，，．．因为，所以变量x和y的线性相关程度很强．（Ⅱ）．．所以年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为．（Ⅲ）当x＝6时，由（Ⅱ），．所以研发的年投资额为600万元时，产品的年销售量约为15.9千件．22．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：．①当时，因为，所以．\n所以在（－1，0）上单调递减，所以在（－1，0）上无极值点．故不符合题意．②当a>1时，因为在（－1，0）上单调递增，在（－1，0）上单调递增，所以在（－1，0）上单调递增．又，，，所以存在唯一的，使得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以在（－1，0）内存在极小值点．满足题意．综上，a的取值范围是．（Ⅱ）当时，单调递减．又，，所以存在唯一的，使得．当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，所以存在唯一的，使得．当时，；当时，．又当时，恒成立，