\n\n\n\n#&##!#&#$年度河南省高三年级入学摸底考试!一"数学参考答案!理科"!!'!#解析$本题考查集合的交集%考查数学运算的核心素养!因为"(!%!"&"!#"所以""#(!%!"&#!#!)!#解析$本题考查共轭复数与复数的乘法%考查数学运算的核心素养!设$(%*&+$%"&#!%"因为$&$(,"所以%##*&(,"故选)!$!)!#解析$本题考查充分必要条件的判定%考查直观想象与逻辑推理的核心素养!若"#(#'('((("%"'"则四边形"#'(可能是空间四边形!若四边形"#'(为菱形"则"#(#'('(((""且("("'有可能成立!故'"#(#'('((("%"'(是'四边形"#'(为菱形(的既不充分也不必要条件!-!.!#解析$本题考查双曲线的离心率%考查数学运算的核心素养!#####&&)*%$槡#因为!*#($"所以#(/"故双曲线#%#(!的离心率+(!*#(!槡%%&%槡&-,!.!#解析$本题考查统计中的平均数与概率中的古典概型%考查数据处理与运算求解能力!$"%)这组数据各数之和为$""设删去的两数之和为)!若剩下数据的平均数大于,"则&,"解得)'""则删/%#-!去的两个数可以为!"#或!"$或!"-或#"$"故所求概率为#(!'/0"!1!#解析$本题考查三角函数图象的变换与三角函数的性质%考查数学运算与逻辑推理的核心素养!因为,$)%(234$-)%!%$&'!'"%为奇函数"所以!("",$)%(4+5-)"所以,$)*"%(4+5$-)*#"%!令#"$-)*#"(-"*"$-#"%"得)(-"%"$-#"%!$#-#-0!'!#解析$本题考查平面向量的数量积与数学文化%考查直观想象与数学建模的核心素养!设"#()尺"则"'()*!$尺%"6"((,尺"7,#*)#($)*!%#"7)(!#!以"为坐标原点"建立如图所示的平面直角坐标系$单位)尺%"则"$&"&%"($,"&%"'$,"!#%")()()()(.$%,"!#%""'($,"!#%"(.($%!&"!#%"故"'&(.(%,&*!--(8-平方尺!/!1!#解析$本题考查解三角形%考查数学运算的核心素养!64+5"234'(4+5#"-&#(%#"7234'(4+5#(&(!"7/#(%#*&#%#%&234'(%#*&#%%&($%#"即#/4+5"%#-(槡$%!8!)!#解析$本题考查对数函数与导数的应用%考查构造函数的策略与逻辑推理&数学抽象的核心素养!)设函数,$)%(95$)*!%%)$)*&%"则,0$)%(%+&"所以,$)%为减函数"则,$&!&!%',$&%(&"即)*!95!!&!'&!&!!又/'&'&"所以/'&'%!!高三数学"参考答案!第!!页#共"页$理科%"#$%&$'"\n!&!.!#解析$本题考查正方体外接球的表面积与线面角%考查空间想象与运算求解能力!如图!"取"(的中点1"连接.1"则.1,底面"#'("所以-.21为.2与底面"#'(所成的角"则#-.21("&:!设正方体的棱长为%"因为该正方体外接球的表面积为!#""所以-";$槡$%%#($"%#(##!#""解得%(#"所以.1(""!(%(#"从而12("槡$#所以2的轨迹为以1为圆心"为半径的圆在正方形"#'(区域内的部分"如图#!槡$在图#中"13(14(#"所以234-"13("1(槡$"则-"13(""根据对称性可知-(14(""所槡$13#""以-413("%#;"(#""故动点2的轨迹周长为#";#(-槡$"!"$$槡$8!!!1!#解析$本题考查抛物线定义的运用%考查直观想象与逻辑推理的核心素养!抛物线*#(%")的焦点2的坐标为$%$"&%"准线5))($"分别过""#作准线##$的垂线"垂足分别为'"(""'与#(分别交*轴于4"6"则."4.(."'.%(#$$$."2.%".#6.(.#(.%(.#2.%!设"#的中点为."过.作*轴的垂###!!$$线"垂足为3"则..3.($."4.*.#6.%($.#(.%*."'.%%(####!!$."2.*.#2.%$%*$."#.%$%(-"当且仅当""#"2三点共线时"等号成立"所以线段"#的中点##到*轴的距离的最小值为-!!#!)!#解析$本题考查随机变量的分布列及其数学期望%考查数据处理能力与逻辑推理的核心素养!记7表示#台设备使用期间需更换的零件数"则7的可能取值为!#"!$"!-"!,"!""#8$7(!#%(&!-(&!!""8$7(!$%(#;&!-;&!,(&!-"#8$7(!-%(&!,*#;&!-;&!!(&!$$"8$7(!,%(#;&!,;&!!(&!!"#8$7(!"%(&!!(&!&!!若购买#台设备的同时购买易损零件!$个"在使用期间"记这#台设备另需购买易损零件所需费用为9元"则9的可能取值为&"#/&","&"/-&"8$9(&%(8$7+!$%(&!!"*&!-(&!,""8$9(#/&%(8$7(!-%(&!$$"8$9(,"&%(8$7(!,%(&!!"8$9(/-&%(8$7(!"%(&!&!".$9%(#/&;&!$$*,"&;&!!*/-&;&!&!(!,"!/!!高三数学"参考答案!第!#页#共"页$理科%"#$%&$'"\n!$!%!"/!#解析$本题考查二项式定理%考查数学运算的核心素养!$槡"#)%!%8展开式中的常数项为'$$槡"#)%"$%!%$(%!"/!$8$槡)槡)$$!-!%!#解析$本题考查三角恒等变换%考查数学运算的核心素养!-8因为4+5$"*"%(槡#$4+5"*234"%(#槡#"-#0所以$4+5"*234"%#($-%#"所以!*4+5#"(!""故4+5#"(%$$!0-8-8!!,!%!#解析$本题考查函数的单调性与值域%考查数学抽象与逻辑推理的核心素养!#!因为,$)%(%$)*,)%$%'&%在*!"#+上单调递减"所以,$)%在*!"#+上的值域为*#0%""%+"因为所有点$:"!,$;%%$:";#(%构成一个正方形区域"所以"%%#0%(#%!"解得%(%!#!!"!"!!#解析$本题考查立体几何初步与导数的应用%考查空间想象能力与数学建模的核心素养!$依题意可得"/#'.为等腰直角三角形"因为230'."所以/#'.1/#32"所以#2(#3!设#2()$&')'$%"则#3()!取23的中点1"连接41"则41,23"因为平面423,平面"('32"所以41,平面"('32!因为#2(#3()$&')'$%"42,43"所以41(槡#)"五棱锥4%"('32的体积<$)%(!;$$;-%!)#%;槡#)(槡#$!#)%!)$%"#$##"#则<0$)%(槡#$!#%$)#%!当&')'#槡#时"<0$)%&&,当#槡#')'$时"<0$)%'&!"#故<$)%<=>(<$#槡#%(槡#;$#-槡#%/槡#%(!"!"$#&&#!0!解)$!%甲公司生产的动车的终到正点率不低于&!8,的概率约为("……………………………#分$&&$!8&!8乙公司生产的动车的终到正点率不低于&!8,的概率约为(!……………………………………-分$&&$&#$#%因为=#("&&;$!&&;!8&%!!&;#&&%(#&&'!"…………………………………………………/分##0$#!&;$8&;$&&所以=#'#!0&""……………………………………………………………………………………………!&分所以没有8&?的把握认为甲-乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于&!8,与生产动车的公司有关!………………………………………………………………………………………………………………!#分!/!$!%解)设!&>#的公比为?"因为!&>#为正项等比数列"所以?&&!…………………………………………!分由&!(#"&$*&-(#-"得#$?#*?$%(#-"……………………………………………………………………#分即?#$#$*?%!#(&"设函数,$?%(?*?%!#$?&&%"则,$?%为增函数"又,$#%(&"所以?(#"…………………………………………………………………-分所以&>%!>>(#;#(#!………………………………………………………………………………………,分$#%证明)因为%>*!(%>*&>*!"所以%>*!%%>(#>*!(#>*!%!"……………………0分##>>*!>*>>*>!高三数学"参考答案!第!$页#共"页$理科%"#$%&$'"\n所以$%#%%!%*$%$%%#%*.*$%>%%>%!%($#*##*.*#>%!%**$!%!%*$!%!%*.*$!%!%+!##$>%!>($#>%#%*$!%!%(#>%!%!"…………………………………………………………………………8分>>即%>%%!(#>%!%!"则%>(#>%!'#>"………………………………………………………………!&分>>>故2#>>*!%@'#*#*.*#(#%#!………………………………………………………………………!#分@(!!8!$!%证明)取8"的中点2"连接.2"(2"……………………………………………………………………!分!因为.为8#的中点"所以.20"#".2("#!……………………………#分#又因为"#0'(""#(#'("所以.20'(".2('("………………………$分所以四边形'(2.为平行四边形"从而'.0(2"……………………………-分又(23平面8"("'.4平面8"("所以'.0平面8"(!…………………,分$#%解)取"(的中点A"连接8A"#A"依题意可得8A,"("#A,"("则-8A#(!,&:!………………………………………………………………………………………………"分以A为坐标原点"A)("的方向为)轴的正方向"建立如图所示的空间直角坐标系A%)*$"则8$&"%槡$"!%")()(#$&"#槡$"&%"'$%$"槡$"&%"8#($&"$槡$"%!%"#'($%$"%槡$"&%!…………………………………/分设平面8#'的法向量为!($)"*"$%"6$槡$*%$(&"则!&8)(#(!&#)('(&"即5…………………………………………………………………8分7%$)%槡$*(&"令*(槡$"得!($%!"槡$"8%!………………………………………………………………………………!&分易知"($&"&"!%是平面"#'的一个法向量!……………………………………………………………!!分因为234/""!0(8(8槡/,"槡/,/,8槡/,所以二面角8%#'%"的余弦值为!………………………………………………………………!#分/,##))#&!解)$!%设'的内接正方形的一个端点坐标为$)")%"则#*#(!"%&##解得)#(%&"……………………………………………………………………………………………!分##%*&#####%&#%&-/则'的内接正方形的面积为###;###("槡%*&槡%*&0即!#$%#*&#%(0%#&#!………………………………………………………………………………………#分又#%(-"所以%(#"…………………………………………………………………………………………$分代入!#$%#*&#%(0%#&#"解得&#($"##)*故'的方程为*(!!…………………………………………………………………………………-分-$$#%存在梯形2#2!"#"其面积的最大值为槡#*!!…………………………………………………………,分理由如下)设直线5)*(-)*B"-&&!!高三数学"参考答案!第!-页#共"页$理科%"#$%&$'"\n因为直线5经过点$%!"!%"所以B%-(!"所以点2!$%!"&%到直线5的距离为.B%-.(!"##槡-*!槡-*!点2#$!"&%到直线5的距离为.B*-.(#-*!"…………………………………………………………"分##槡-*!槡-*!!!#-*!所以梯形2#2!"#的面积C($*%.2!2#.234#$#为直线5的倾斜角%"……………0分#槡-#*!槡-#*!!#-*#!所以C(;;#;………………………………………………………………………/分#槡-#*!槡-#*!#$-*!%##(#(+(槡#*!"…………………………………………………………8分-*!-*!*#%##槡#%#-*!当且仅当-(槡#%!时"等号成立"此时"直线5)*($槡#%!%)*槡#"直线#2#)*(%$槡#*!%)*槡#*!"…………………………………!&分6)(槡#"-联立这两条直线的方程"解得5………………………………………………………………!!分$槡#*#"7*(-$槡#%#$$槡#*#%#--!##*!#槡#-0*#-槡#-0*#-;!!,/$因为*(*('('!"-$$#-/8"8"8"所以点#$槡#"$槡#*#%在'的内部"--故在'内存在梯形2#2!"#"其面积的最大值为槡#*!!…………………………………………………!#分#!!$!%解),0$)%($)#*#)%%%@)"……………………………………………………………………………!分则)")是关于)的方程$)#*#)%%%@)(&"即)#*#)%%(&的两个不等实根"!#所以)!*)#(%#")!)#(%%"且$(-*-%&&"即%&%!"………………………………………………$分所以)##$)%#%#)!)#(-*#%&#"则)##的取值范围是$#"*A%!……………………-分!*)#(!*)#!*)##)$#%证明)由,$)%%%)#(&"得)@(%!…………………………………………………………………,分#))*@)#@)!)@)$)$*#@)%设D$)%(#)$)'%"则D0$)%($)#)%#!……………………………………………………"分)*@#*@设E$)%()$*#@)"则E$)%为增函数"因为E$%&!8#%(%&!8#$*#@%&!8#&&"E$%!%(#%!'&"@所以E$)%在$%!"%&!8#%内存在唯一的零点B"且@B(%!B$!………………………………………0分#!当B')'&时"D0$)%'&,当)'B或&')'时"D0$)%&&!…………………………………………/分#所以当)(B时"D$)%取得极大值"!,#B%B$B@#B且极大值为D$B%(#B(($%!'B'%&!8#%!…………………………………8分B*@#!$B%#B%B#!高三数学"参考答案!第!,页#共"页$理科%"#$%&$'"\nB$#B#$B%$%B$又$%0($B%#%#'&"则函数F$B%(在$%!"%&!8#%上单调递减"B%#B%#$!&!8#所以F$%&!8#%'F$B%'F$%!%("F$%&!8#%(8&!#"0"F$%&!8#%&&!#""……………!&分$#!8#又D$!%(槡@'槡@(&!#,"且9)#$%A"&%"D$)%'&!#,"……………………………………!!分#!*-槡@-槡@!!所以当&!#,'%'&!#"时"方程%(D$)%在$%A"%上有#个不同的实根"即2$)%在$%A"%上有#个##零点!…………………………………………………………………………………………………………!#分##-###!解)$!%由4+5;*234;(!"得)**(!"…………………………………………………………………#分因为&+槡4+5;+!"所以曲线'的普通方程为)-#**(!$&+)+!%!…………………………………$分1注2曲线'的普通方程写为)-**#(!$)*&%"不扣分!$#%$方法一%设8$槡4+5;"234;%"则.8A.(槡4+5;*234#;(槡4+5;*!%4+5#;(%$4+5;%!%#*,"…………………………………,分槡#-!槡,当4+5;(时".8A.取得最大值!………………………………………………………………………"分##$方法二%由$!%可设点8的坐标为$)"*%"且)-**#(!$&+)+!%"则.8A.(槡)#**#(槡)#*!%)-(%$)#%!%#*,"……………………………………………,分槡#-当)#(!时".8A.取得最大值槡,!…………………………………………………………………………"分##$$%直线5的直角坐标方程为槡!,)%#*(&"………………………………………………………………0分!-#6)("6)**(!$&+)+!%"#联立5解得5………………………………………………………………8分7槡!,)%#*(&"槡!,"7*(-所以直线5与曲线'交点的直角坐标为$!"槡!,%!……………………………………………………!&分#-!!#$!$!%解)D$)%(.#)%.%.#)*."………………………………………………………………………!分##!!因为.D$)%.+.#)%%$#)*%.(!"…………………………………………………………………$分##所以%!+D$)%+!"故D$)%(,$)%%.-)*!.的值域为*%!"!+!………………………………………-分!!$#%证明)因为,$)%*.#)*%$#)%%.(!"…………………………………………………………,分##所以,$)%的最小值为!"所以,%-##-*!"%&*$&(!!……………………………………………………"分######由,%-*!"%#&#*$&-(!"得$,%#*&#%$%#*$&#%(!+$,%*&*%*$&%#($"%*-&%#"…………/分##即$%#*#&#*!"当且仅当,%#*&#(%#*$&#"即&#(#%#(#时"等号成立"0故$%##*#&*!!……………………………………………………………………………………………!&分!高三数学"参考答案!第!"页#共"页$理科%"#$%&$'"