“宜荆荆恩”2023届高三起点考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合知集1h晦，知䁩䀀㌳1൏൏㌳1ܽ若知h，则实数㌳的取值范围为()A.集1晦B.1晦C.集1晦hD.1晦h晦晦.已知为虚数单位，复数知，则䀀䀀知()1A.B.C.D.晦.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则.已知集t，晦sin晦知cos晦1，则sin知()晦1晦A.B.C.D..已知数列䁩㌳ܽ是公差不为零的等差数列，䁩ܽ为等比数列，且㌳1知1知1，㌳晦知晦，㌳知，设知㌳，则数列䁩ܽ的前1t项和为()A.1t䁥B.1t䁣C.䁣䁣D.䁣䁣.我国古代名著《张丘建算经》中记载：今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何大致意思：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是集注：1丈知1t尺()A.1香䁣立方尺B.香晦立方尺C.䁥䁥立方尺D.11䁣䁥䁣立方尺䁥.已知㌳，，集t1，是自然对数的底数，若㌳知㌳，知，晦知ln晦，则有()A.㌳൏൏B.൏㌳൏C.൏൏㌳D.൏㌳൏.一个袋子中装有形状大小完全相同的个小球，其中晦个黑球，晦个白球.第一步从袋子里随机取出晦个球，将取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中第二步：再从袋子里随机取出晦个球，计第二步取出的晦个球中白球的个数为，则集知()晦1A.B.C.D.䁣晦二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）香.下列说法正确的是()司A.数据䁥，，晦，香，1，，，䁣的第䁥百分位数为䁥B.若∽集1晦，集ܺ晦知t.晦，则集t൏൏1知t.C.已知t൏集൏1，t൏集൏1，若集集知1，则，相互独立D.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到晦知.䁥1晦.依据知t.t的独立性检验集t.t知.1，可判断与有关且犯错误的概率不超过t.t1t.已知函数集知sin集cos集，则()䁣A.集的最大值为晦B.集在h上单调递增1晦C.集在th上有个零点D.把集的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线知对称1晦晦晦11.已知椭圆知1集㌳ܺܺt的左，右焦点分别为1，晦，长轴长为，点集晦1㌳晦晦在椭圆外，点在椭圆上，则()晦A.椭圆的离心率的取值范围是集t晦B.当椭圆的离心率为时，1的取值范围是晦晦h晦C.存在点使得1晦知t11D.的最小值为11晦1晦.函数集及其导函数集的定义域均为h，且集是奇函数，设集知集，集知集，则以下结论正确的有()A.函数集晦的图象关于直线知晦对称B.若集的导函数为集，定义域为h，则集t知tC.集的图象关于点集中心对称D.设数列䁩㌳ܽ为等差数列，若㌳1㌳晦㌳11知，则集㌳1集㌳晦集㌳11知三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）1.在中，是边上的点，且知晦，设知，则知．1.已知集晦展开式中各项系数和为晦，则展开式中的第项为．1.已知圆集晦集晦知，过点集作不过圆心的直线交圆于，两点，则面积的取值范围是．1䁣.在三棱锥中，底面，知，知知知晦㌳，为的中点，球为三棱锥的外接球，是球上任一点，若三棱锥体积的最大值是，则球的体积为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1䁥.集本小题1t.t分已知数列䁩㌳ܽ前项和为，且㌳1知1，㌳知晦1集晦．集1求㌳晦集晦设知，求数列䁩ܽ的前项和．18.集本小题1晦.t分如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，其轴截1面是正三角形，点是上一点，知知1，点晦，是底面圆上不同的两点，是的中点，直线1与圆锥底面所成角满足tan知．集1求证：集晦求二面角的正弦值．19.集本小题1晦.t分在中，内角，，满足晦sin晦sin晦知晦sin晦C.集1求证：tan知tan1晦集晦求最小值．tantantan20.集本小题1晦.t分设某种植物幼苗从观察之日起，第天的高度为集，测得的一些数据如下表所示：第天1香1䁣晦䁣香高度t䁥香111晦1集集1根据以上数据判断知㌳与知㘠哪一个更适宜作为关于的经验回归方程集给出判断即可，不需说明理由集晦根据集1的判断，建立关于的经验回归方程，估计第1tt天幼苗的高度集估计的高度精确到小数点后第二位集在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机选取其中的个点，记这个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望．司附：对于一组数据集11，集晦晦，，集，其经验回归直线方程知㌳的斜集率的最小二乘估计为知知1集知知1集晦晦晦．知1知121.集本小题1晦.t分晦晦已知双曲线与双曲线知1有相同的渐近线，且过点集晦晦1．1晦集1求双曲线的标准方程集晦已知集晦t，，是双曲线上不同于的两点，且知t，于，证明：存在定点，使䀀䀀为定值．22.集本小题1晦.t分ln已知函数集知集t，知晦.䁥1晦是自然对数的底数．集1当知1时，设集的最小值为，求证：൏晦1集晦求证：当时，集t.答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查含参数的并集计算，属于基础题．【解答】解：已知集合知集1h晦，知䁩䀀㌳1൏൏㌳1ܽ若知h，㌳11则有，解得实数㌳的取值范围为1晦h．㌳1晦2.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的除法运算，乘方运算，以及复数的模的求解，属于基础题．由复数的运算法则先化简复数，再求晦，再求模即可．【解答】集1解：因为知知知晦，1晦所以晦知集晦晦知，则晦知晦晦知．3.【答案】【解析】【分析】本题考查空间平面平行垂直的判定，线面平行和垂直的判定与性质，属于基础题．【解答】解：对于，若，，则或与相交，A错误若，，则或，相交或异面，B错误，C正确；若，，则或或与相交均可能，故D错误．4.【答案】【解析】【分析】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题．司【解答】解：晦sin晦知cos晦1，所以sincos知晦cos晦，因为集t，cost晦即：晦sin知cos，解得sin知．5.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，等差数列的通项公式及前项和，等比数列的通项公式及前项和，属于中档题．【解答】解：设等差数列䁩㌳ܽ的公差为㘠集㘠t，等比数列䁩ܽ的公比为，㌳1㘠知11㘠知则由㌳1知1知1，㌳晦知晦，㌳知，得晦即晦解得㘠知1，知晦，㌳1㘠知11㘠知1t香1晦1t所以数列䁩ܽ的前1t项和1t知1t知1t䁥．晦1晦6.【答案】【解析】【分析】本题考查棱台的体积公式，属中档题．由题意及11∽，先求得棱锥的高，继而求体积即可．【解答】解：由题意可知正四棱锥的高为t，所截得正四棱台的下底面边长为晦t，上底面边长为䁣．设棱台的高1知，集单位均为尺晦t䁣晦由11∽可得t知晦，解得知晦1，晦t晦1晦晦可得正四棱台体积知晦1集䁣晦t䁣晦t知香晦集立方尺，故选B．7.【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数比大小，属于中档题．【解答】㌳㌳晦解：由㌳知，知，晦知ln晦得知，知，知知，㌳ln晦ln集1构造函数集知集ܺt，求导得集知令集知t，得知1．晦当集t1时，集൏t，集单调递减当集1时，集ܺt，集单调递增．1൏൏൏，所以集൏集൏集，又㌳，，集t1，所以㌳൏൏．8.【答案】【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，属于拔高题．【解答】1解：计第一步取出两个白球为事件，则集知，集知t䀀知1，集知1䀀知集知䁣晦䀀知t；晦11计第一步取出两球为一黑一白为事件，则集知，集知t䀀知，集知1䀀知，晦晦集知晦䀀知t；11晦计第一步取出两个黑球为事件，则集知，集知t䀀知，集知1䀀知，集知䁣䁣1晦䀀知，䁣司1故由全概率公式，集知t知集集知t䀀集集知t䀀集集知t䀀知䁣晦1111香1知，晦䁣䁣䁣1䁣11同理集知1知，集知晦知，集知．䁣䁣晦t1另解：在第一步完成之后，服从超几何分布，故E集知集晦集晦集晦1晦知．晦9.【答案】【解析】【分析】本题考查百分位数，正态分布的概率，相互独立事件的判断，独立性检验等知识，属于综合性题目．【解答】解：将数据䁥，，晦，香，1，，，䁣按从小到大排序，为1，晦，，，䁣，䁥，，香，因为䁥％知䁣，这组数据的第䁥百分位数为䁥.，选项A不正确；对于，若∽集1晦，集ܺ晦知t.晦，则集t൏൏1知集1൏൏晦知t.t.晦知t.，B正确；若集集知1知集1集，即集知集集，则，相互独立，C正确；晦知.䁥1晦൏t.t知集.1，不能判断与有关且犯错误的概率不超过t.t，D错误．10.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦型函数图像和性质，属于中档题．【解答】解：集知sin集cos集知sincos知晦sin集䁣对于：易知集最大值为晦；对于：令晦晦解出范围易知B错误．晦晦1对于：th，，结合图象易知C正确．对于：集的图象向右平移个单位长度得到集知晦sin，集知晦，所以D正1晦确．11.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，向量的数量积，属于较难题．【解答】晦1解：由题意得㌳知晦，又点集晦1在椭圆外，则ܺ1，解得൏晦，晦所以椭圆的离心率知晦晦，即椭圆的离心率的取值范围是晦知ܺ1，故A不㌳晦晦晦正确；当知时，知，知1，所以1的取值范围是㌳㌳，即晦晦h，故晦B正确；设椭圆的上定点为集t，1集t晦集t，由于1晦知晦晦知晦晦㌳晦൏t，所以存在点使得知t，故C正确；1晦11集䀀1䀀䀀晦䀀集䀀1䀀䀀晦䀀䀀晦䀀䀀1䀀知晦晦晦知，䀀1䀀䀀晦䀀当且仅当䀀1䀀知䀀晦䀀知晦时，等号成立，又䀀1䀀䀀晦䀀知，11所以1，故D正确．䀀1䀀䀀晦䀀12.【答案】【解析】【分析】本题考查导数的几何意义与函数图象的关系，奇偶函数的图形特征，函数图象的平移，等差数列的性质，属于较难题．【解答】解：由导数的几何意义及集的对称性，集在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故集知集，集是偶函数，集晦对称轴为知晦，错由集的对称性，集在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故集知集，集为奇函数，又定义域为h，集t知t，对集知集集，由集为奇函数知集知集为奇函数，图像关于集tt对称，集可以看作由集按向量集平移而得，故C对由选项知，当1晦知时，集1集晦知，由等差数列性质㌳1㌳11知，集㌳1集㌳11知，以此类推倒序相加，D正确．司113.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量中三点共线，属于基础题．【解答】1晦解：中，是边上的点，且知晦，所以知，1知．14.【答案】t晦【解析】【分析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．利用赋值法求，再利用展开式的通项公式即可求解．【解答】解：令知知1，得晦1知晦，解得知，所以集晦的展开式的通项知集晦知晦．1则展开式的第项为知晦晦晦知t晦．15.【答案】集th【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．【解答】解：圆心集，半径知晦，点在圆内部，设到距离为㘠，则t൏㘠1，䀀䀀知晦㘠晦，知1㘠知㘠㘠晦知㘠晦集㘠晦知集㘠晦晦晦，晦当㘠知1时取到最大值，故答案为：集th.16.【答案】䁣【解析】【分析】本题考查外接球问题，属于中档题．【解答】解：正中，为的中点，则，而平面，平面，即，而知，，平面，则平面，平面，有，又，因此，h与h的斜边中点到点，，，的距离相等，即三棱锥外接球球心为中点，从而，点是三棱锥外接球球心，设球的半径为h，有h晦知㌳晦，的外接圆圆心为的中点，设为，连接，则平面，如图，则有知㌳，即到平面的距离为㌳，因此到平面距离的最大值为㌳晦晦晦1㌳晦，又知晦㌳知㌳，晦即有1㌳集㌳晦㌳晦知，解得㌳晦知晦，h晦知㌳晦知䁣，h知䁣，所以球的体积为h知䁣．17.【答案】解：集1㌳知晦1，1知晦1111知晦1知晦，1111数列䁩ܽ为等差数列，且知晦集1知1晦晦知晦1，11又知1时，㌳1知1知晦11知1，知集，晦11知1㌳知晦晦.集晦1集晦1集晦知晦1，知集晦1晦，司知1晦1晦晦集晦晦1集晦1晦，晦知1晦晦晦集晦晦集晦1晦1，11晦集1晦1两式相减得知晦晦晦晦集晦1晦知晦集晦1晦1晦1知晦晦晦集晦1晦1知䁣集晦晦1，知集晦晦1䁣．【解析】本题考查等差数列的判定及其通项公式，数列的前项和与㌳的关系，错位相减求和的应用，属于中档题．18.【答案】解：集1由题意，知，知知，取的中点，连接，。11则，且知知知，晦晦晦平面，平面，即为直线与平面所成角，䁣1sin知知，从而知䁣，由勾股定理得知，晦晦晦1晦在中，知知知，所以，平面，，由，且知，故平面，所以．集晦以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系则集tt，集tt1，集t，集tt，晦晦1得知集t1，知集t，知集t，晦晦设平面、的法向量分别为知集111，知集晦晦晦，由知t11知t1知1，令知1得知集11，1知t11知t1知1知t晦晦知t晦知晦由1，令晦知1得知集11，知t晦晦知t晦知晦晦晦所以cos൏，ܺ知知，则二面角的正弦值为．【解析】本题考查线面垂直的判定及性质，考查二面角，考查利用空间向量求二面角，考查空间思维能力与计算能力，属于中档题．集1利用线面垂直的判定性质可证得平面，再根据线面垂直的性质证得即可集晦建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面的法向量为1，平面的一个法向量晦，即可求得求二面角的正弦值．19.晦晦知晦晦，从而晦知㌳晦1晦，【答案】解：集1由正弦定理有晦㌳晦㌳晦晦晦sin则cos知知知，晦㌳㌳sin所以sincos知sin知sin集知sincoscossin，即有sincos知cossin，tan知tantantantan集晦由集1tan知tan，有tan知tan集知知，tantan1tan晦11晦1tan晦11集tan晦1则知知，tantantantan晦tantan晦tan1晦11故知集tan晦tan知，tantantan晦tan晦tan1当且仅当tan知，即tan知1，知时取等。tan1晦所以的最小值为tantantan【解析】本题考查正余弦定理解三角形和基本不等式求最值，属于中档题．20.【答案】解：集1知㘠．集晦令知，则知㘠，根据已知数据表得到如下表：1香1䁣晦䁣香知1晦䁣䁥t䁥香111晦11晦䁣䁥知知，知，䁥晦䁥香㘠知知，1t䁥1䁣晦知㘠知，䁥香故关于的经验回归方程知，晦䁥晦香令知1tt，知晦t.䁣集．1司集这䁥天中幼苗高度大于知的有天，服从超几何分布，其中知䁥，知，知，11晦1集知1知，集知晦知，集知知，集知知，所以随机变量的分布列为：1晦11晦11䁣随机变量的期望值集知知．䁥䁥【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查回归方程，属于中档题．集1由数据分析知㘠更适宜作为关于的经验回归方程；集晦令知，则知㘠，列出数据表，代入公式从而得到㘠，回归直线过点，得到，从而得到经验回归方程，令知1tt，求出的值；集从这䁥天中任取天，所以这个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，晦，，，利用超几何分布分别求出概率，列出分布列，从而求出期望．21.【答案】解：集1因为双曲线与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线的标准方程为晦晦知，代入点坐标，解得知，晦所以双曲线的标准方程为晦知1．集晦集当直线斜率存在时，设知，晦设集11集晦晦，联立知与双曲线晦知1，化简得集晦1晦集晦1知t，1晦知晦知集晦集晦集晦1ܺt，即晦晦1൏t，则有1晦1晦知晦1又1晦知集1集晦知晦1晦集1晦晦，因为知集1晦集晦晦1晦知t，所以集晦11晦集晦集1晦晦知t，晦晦晦所以集1集晦知t，晦1晦1晦晦1t化简，得1䁣晦t知t，即集1t集晦知t所以1知晦，晦知，且均满足晦晦1൏t，当1知晦时，直线的方程为知集晦，直线过定点集晦t，与已知矛盾，1t1t1t当晦知时，直线的方程为知集，过定点集t，集当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线知晦，与双曲线方程联立解1t1t得知知，此时也过点集t1t综上，直线过定点集t．由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，䀀䀀为该圆半径，所以晦存在定点集t，使䀀䀀为定值．【解析】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查圆锥曲线中的定点、定值问题，考查化简整理的运算能力，属于难题．122.【答案】解：集1当知1时，集知ln，集知集ܺt11t1知t由于集知晦൏t，集1知1ܺt，故存在t集1，使得集t知晦晦t由基本初等函数性质知，集在集t递增，所以当t൏൏t时，集൏t，集递减当ܺt时，集ܺt，集递增，1所以知集hmin知集t知tlnt知tt11晦1设函数集知，集1，集知൏t，晦晦11故集在集1递减，集൏集知，所以൏．晦晦晦晦11集晦方法一：集知知集晦1当时，由基本初等函数性质知，集在集t递增，1111集知1t，集晦知1集1൏1集1知t11所以存在集t使得集11知t，即：1知111知集晦晦111晦lnln1知t，ln1知晦1晦ln当t൏൏1时，集൏t，集递减当ܺ1时，集ܺt，集递增1ln11ln11111晦集hmin知集1知知晦知晦集ln1知晦集1晦ln1111晦集晦晦ln知集1ln晦1因为，故ln1，集hmint，集t.ln111方法二：tlnt，由于，所以lnln，111111故只需证lnt，即lnt，设集知ln，集知，集在集t单增，且集知t，故集t时集൏t，集单减集时集ܺt，集单增，所以集min知集知t，集t，原不等式成立．司【解析】本题考查导数证明不等式，属于难题．