高三上学期理数期中考试试卷一、单选题1．已知集合，，则（）A．2．若复数满足B．是虚数单位C．，则复数的共轭复数D．()A．B．C．D．3．在等比数列{an}中，，，则（）A．8B．6C．4D．24．已知A．，则（）B．C．D．5．设变量，满足约束条件则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6据中国地震台网测定，2021年9月16日4时33分，四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震.已知地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此测算，2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的级地震所释放出的能量，约是该次泸县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到；参考数据：）（）A．19B．23C．32D．41某四面体的三视图如图所示，已知其正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四而体的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为（）A．1B．2C．3D．4已知，，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．在直三棱柱中，.、分别是、的中点，与所成角的余弦值为（），则A．B．C．D．10．已知双曲线，若点，，是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．11．关于函数，在下列论断中，不正确的是（）A．是奇函数B．在上单调递减C．在内恰有2个极值点D．在上的最大值为12．已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题已知，，已知直线与曲线已知三棱锥顶点都在球.若.则．相切.则实数．的表面上，，，，侧面是以为直角，则球的表面积为．两点.且线段的中点在直线顶点的直角三角形，若平面平面已知直线与抛物线交于，坐标原点），则的面积为．三、解答题的内角、、的对边分别为、、，求；若，求.上，若（为.\n18．已知正项数列{an}的前项和，满足：.求数列{an}的通项公式；设，求数列19．如图，在直四棱柱的前项和.中，底面是平行四边形，点，，分别是，，的中点，，，证明：平而平面求平而与平面，.；所成锐二面角的余弦值.20．已知椭圆过点，离心率为，过点作斜率为，的直线，，它们与椭圆的另一交点分别为，，且.求椭圆的方程；证明：直线过定点.21．已知函数.当时，求的最大值；设点和恒成立，求实数k的取值范围.是曲线上不同的两点，且，若22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知是23．已知函数上的点，点，求的中点到距离的最大值..（1）画出的图象；（2）当时，，求实数的取值范围.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为由得，，所以故答案为：B，所以，【分析】首先由绝对值不等式的解法以及指数函数的单调性求解出x的取值范围，从而得出集合A和B，然后由交集的定义结合不等式即可得出答案。2．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得：，结合共轭复数的定义可知：.故答案为：D.【分析】结合复数的运算，计算出z，求出共轭复数，即可得出答案。3．【答案】A【解析】【解答】由题设，，又，可得，∴.故答案为：A【分析】根据题意由等比数列的通项公式整理化简已知条件，由此得出公比的取值，再把结果代入到已知的代数式，计算出结果即可。4．【答案】C【解析】【解答】因为，所以，故答案为：C\n【分析】根据题意由同角三角函数的基本关系式整理化简原式，由此计算出结果即可。5．【答案】B【解析】【解答】首先根据不等式组画出可行域，令，画出初始目标函数表示的直线，根据的几何意义可知当初始目标直线平移至点时，目标函数取得最小值，由，解得：，故，所以.故答案为：B【分析】根据题意作出可行域再由已知条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。6．【答案】C【解析】【解答】由题设，四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震的能量为日本本州东岸近海发生的7.0级地震的能量为，，∴.故答案为：C【分析】根据题意把实际问题转化为数学问题，结合题意由指数幂的运算性质，计算出结果即可。7．【答案】C【解析】【解答】由题意知，该四面体是正方体的一部分，如图所示，四面体为三棱锥D-ABC，则互相垂直的平面一共有3对.故答案为：C.【分析】根据题意由已知条件还原几何体，结合三棱锥的几何性质以及线面垂直的定义，即可得出答案。8．【答案】D【解析】【解答】若，则，而，所以由不能得到，若，则，而所以是的既不充分也不必要条件，，所以由不能得到，故答案为：D【分析】首先由对数函数的单调性即可得出a与b的取值范围，结合充分和必要条件的定义即可得出答案9．【答案】D【解析】【解答】以C为坐标原点，以CB、CA、如图，设，方向分别为x、y、z轴正方向，建立空间坐标系，则，所以，故答案为：D【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由此得出点以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式计算出夹角余弦值的大小。10．【答案】B【解析】【解答】由题意，若为等腰三角形的底边，则点在的垂直平分线上，故的横坐标为0，矛盾；又故解得：故双曲线的渐近线方程为：故答案为：B\n【分析】根据题意首先由两点间的距离公式整理化简，由此得出a与b的关系，结合整体思想即可得出渐近线方程。11．【答案】B【解析】【解答】函数的定义域为由，故是奇函数，A正确，不符合题意；由则，又，所以在上不是单调递减，则B错误，符合题意；设，令，得，且当时；当时；当时；所以在内恰有2个极值点，则C正确，不符合题意；设，令，得，由于，，，所以在上的最大值为，D正确，不符合题意．故答案为：B【分析】首先由二倍角公式整理化简函数的解析式，结合函数的奇偶性即可判断出选项A正确；再由余弦函数的单调性结合整体思想即可得出函数的单调性，从而判断出选项B错误；由函数的单调性结合函数极值的定义即可得出选项C正确；结合题意由余弦函数的单调性即可得出函数的最值，从而得出选项D正确，进而得出答案。12．【答案】A【解析】【解答】记，易知所求根式部分为函数和图象两点的距离问题，设，则，所以，又单调递增，所以是唯一零点，令，所以在上单调递减，在上单调递增，得，即，所以，，当且仅当时等号成立.故答案为：A【分析】根据题意设出点的坐标，由两点间的距离公式整理化简已知条件，结合对数函数和二次函数的图象作出函数的图象，然后由数形结合法以及基本不等式即可得出原式的最小值。13．【答案】【解析】【解答】由题意由得，，解得，\n所以．故答案为：．【分析】根据题意由已知条件求出向量的坐标，并代入到数量积的坐标公式由此计算出m的取值，在意向量模的公式，代入数值计算出答案即可。14．【答案】-3【解析】【解答】设切点坐标为，记，，，切线方程为，即，它即为，所以，解得．故答案为：-3．【分析】首先根据题意设出切点的坐标，结合题意对函数求导，代入数值计算出切线的斜率，然后由点斜式求出切线的方程，结合已知条件计算出a的取值。15．【答案】25π【解析】【解答】如图，分别取AB、AC的中点，因为，所以，又所以分别为截面PAB、截面ABC外接圆的圆心，又平面平面ABC，，，所以平面ABC，故为球心，得球的半径为所以球的表面积为：.，故答案为：25π【分析】根据题意由三棱锥的几何性质即可得出线线垂直，然后由面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，结合勾股定理计算出球的半径，并代入到球的表面积公式计算出结果即可。16．【答案】【解析】【解答】设，是中点，则满足，两式作差得，即，又，故，设过直线方程为，联立可得，，又，即，解得或1，因为异号，故，则，直线方程为，则直线过，，故答案为：【分析】利用设而不求法设出点的坐标，再由中点坐标公式和斜率坐标公式计算出直线的斜率，从而得出直线的方程，然后联立直线与抛物线的方程消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出两根之和与两根之积，并代入到弦长公式和三角形的面积公式，由此计算出结果即可。17．【答案】（1）解：由余弦定理易知：即，即，，则，因为，所以.（2）解：因为，所以由正弦定理易知，，因为，所以，即，\n，，解得，或（舍去），，故.【解析】【分析】(1)根据题意由余弦定理整理化简计算出cosA的取值，结合角的取值范围计算出角A的大小。(2)首先由正弦定理结合两角和的正弦公式入数值计算出，由此得出角B的大小，再由两角和的正弦公式，代入数值计算出结果即可。18．【答案】（1）解：当时，，.当时，，…①，，…②①-②得：，即：.，.∴{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，.（2）解：由（1）可知，则，…①两边同乘得：，…②①②得：，.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等差数列，从而求出数列的通项公式即可。(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，再由裂项相消法计算出数列的前n项和。19．【答案】（1）证明：在三角形中，，，，由余弦定理得，，，在直四棱柱中，平面，，平面，，又点，分别是，的中点，，平面，平面平面.（2）解：由（1）知，，两两垂直，所以以方向建立空间直角坐标系，平面.为原点，，，分别为，，轴正则，，，，，，，设平面的法向量为，则取，则.设平面的法向量为，则取，则.所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．\n【解析】【分析】(1)根据题意由正方体的几何性质结合余弦定理，计算出线线垂直然后由直四棱锥的几何性质结合线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，然后由平行的传递性即可得出线线垂直再由线面垂直的判定定理即可得证出结论。(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面所成锐二面角的余弦值。20．【答案】（1）解：由于，故，所以.又椭圆过点，故从而，，椭圆，的标准方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，，不合题意，舍去.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由得，设，则.又由得：，所以，化简得，解得或（舍去）.当时，直线综上可知，直线过定点，符合要求.过定点.【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合离心率公式计算出a与b的取值，从而得出椭圆的方程。(2)首先对斜率分情况讨论，再由斜截式设出直线的方程，并联立直线与椭圆的方程消元后得到关于x的方程，结合韦达定理计算出两根之和与两根之积关于m和k的代数式，并把结果代入到斜率的坐标公式整理化简即可得出关于m的方程，求解出m的取值从而得出直线的方程，结合直线的性质即可得出过的定点的坐标。21．【答案】（1）解：当当时，时，，的定义域为，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以是的极大值点，也是故.的最大值点，（2）解：不妨设，由，得由，得，即设，，则记，（i）当时，则图像的对称轴为，所以在上是增函数，又，从而当时，，所以，于是在上是减函数，所以，此时适合题意（ii）当时，，则恒成立，从而，所以在上是减函数，于是，此时适合题意.（iii）当时，的对称轴方程为，且，，所以存在\n，使得，于是在内只有一个零点，所以当时，，从而所以在上是增函数，于是当时，综上，实数k的取值范围，此时不适合题意.【解析】【分析】(1)根据题意由a的取值即可得出函数的解析式，然后对函数求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性结合函数的极值即可得出函数的最值。(2)首先设出点的坐标，再由已知条件整理化简由分离参数法，得出不等式然后构造函数g(x)并对函数求导，结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由二次函数的图象和性质即可得出函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可得出函数的零点个数，然后由题意代入验证即可得出满足题意的a的取值范围。22．【答案】（1）解：由（为参数），消去参数，则普通方程为.由，得，将代入得：，从而的直角坐标方程为（2）解：由（1）知.，设，的中点坐标为，则到的距离为，当时，的最大值为.【解析】【分析】(1)首先把直线的方程化为普通方程，再联立直线与曲线的极坐标方程，消元后整理化简即可得出曲线的普通方程。(2)结合中点的坐标结合点到直线的距离公式，再由余弦函数的单调性即可得出距离的最大值。23．【答案】（1）解：当时，，当时，，当时，.（2）解：当时，，可化为，即，时，，.实数的取值范围为.【解析】【分析】(1)首先由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合一次函数和常函数的图象作出函数f(x)的图象。(2)根据题意整理化简不等式，然后由x的取值范围即可得出函数的最小值，从而得出a的取值范围。