高三上学期数学期中考试试卷一、单选题1．已知全集（），若集合，集合，则A．B．C．在中，内角A．充分而不必要条件D．或所对的边分别是，“”是“B．必要而不充分条件”的（）C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件3．已知为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，且，则（）A．10B．15C．18D．204．在中，为边上的中线，且，则（）A．B．C．D．5．已知函数，如图所示，图象对应的函数解析式可能是（）A．B．C．D．6．声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为).已知声音大小与声压的关系式为，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的（）倍A．B．C．10D．207．已知，则值为（）A．B．C．D．8．已知函数，.若存在三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题9．若，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．10．函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．的最小正周期是B．当时，C．将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于对称D．若，且，则11．已知函数，则下列说法正确的是（）A．B．函数的最大值为1C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为D．若，则12．等差数列（）的前项和为，公差为，，则下列结论正确的是A．若，则B．若，则最小\nC．D．三、填空题13．函数在处的切线与直线平行，则实数的值为.14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为15．如图，梯形中，上的动点，则的最小值是.，，若点为边16．现有一堆物品，从上向下看，第一层有2个物品，第二层比第一层多1个，第三层比第二层多2个，第四层比第三层多4个，依次类推，若第层物品个数为，则；若数列满足，则数列的前和.四、解答题17．已知向量与是夹角为的单位向量，且向量.（1）求；（2）若，求实数的值.18．1.已知分别为内角的对边，，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.19．已知函数是奇函数.（1）若，求的取值范围；（2）若的解集为，求的值.20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本万元，当年产量不足50千件时，，当年产量不小于50千件时，千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?21．设数列的前项和为，已知.（1）求通项公式；，已知每（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.22．已知函数(其中常数是自然对数的底数).（1）当时，讨论函数的单调性；（2）证明：对任意，当时，.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由，由，故，，则.故答案为：B【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】由，则，据正弦定理知，；由，据正弦定理，则，得，所以是的充分必要条件．故答案为：C.\n【分析】根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：由题可知，等差数列成等比数列，，的公差，则，即，解得：，所以.故答案为：D.【分析】根据成等比数列，且公差不为0，，得，求解出a1和d的值，从而可求a5的值.4．【答案】A【解析】【解答】如图所示：∵为边上的中线∴，∵∴∴故答案为：A【分析】由已知结合向量共线定理及线性表示即可求解出答案.5．【答案】D【解析】【解答】因为函数图象关于原点对称，所以所求函数为奇函数.对A，，为非奇非偶函数，故排除A，对B，，为非奇非偶函数，故排除B，对C，设，定义域为，，所以函数为奇函数，，时，，为增函数，而函数图象在先增后减，C不符合题意.故答案为：D【分析】可以判断所求函数为奇函数，利用函数的奇偶性可排除选项A，B；利用函数在上的单调性可判断选项C，D.6．【答案】A【解析】【解答】声音大小与声压的关系式为，当时，，即，解得，当时，，即，解得，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压比为.故答案为：A【分析】根据已知条件，结合指数与对数的互化以及指数的运算性质，即可求解出答案.7．【答案】D\n【解析】【解答】解：，化简得，得，.故答案为：D.【分析】根据两角和的余弦公式、诱导公式和辅助角公式进行化简，得，最后由二倍角的余弦公式得出，从而可求出答案.8．【答案】B存在三个零点，所以方程得，解得有两个实数根，即【解析】【解答】解：因为因为当时，由所以当时，所以令所以当时，当时，有三个实数根，，有且只有一个实数根，有两个实数根，，则，，单调递增，，单调递减，因为，，，所以的图象如图所示，所以有两个实数根，则故答案为：B【分析】由题意，当x>0时，函数g(x)有一个零点，进而将问题转化为当x≤0时，实数根，再研究函数的图象，数形结合即可求出实数有两个的取值范围.9．【答案】B,C【解析】【解答】因为，所以，即.对A，，因为，所以，即，A不符合题意.对B，设，，因为时，，所以为增函数，因为，所以，即，B符合题意.对C，因为，所以，又因为，所以，C符合题意.，时，对D，因为，当，D不符合题意.故答案为：BC【分析】由可得，再逐项进行判断，可得答案.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】由图可知，，由可得，即，将代入解析式得，即，即，当时，，故，A符合题意；当时，，，B不符合题意；若的图象向右平移个单位，得到，当时，，在对称轴处取最值，C符合题意；若，且，由，\n要使，必满足，解得，故，D符合题意.故答案为：ACD【分析】由图像求出解析式，可判断A；采用整体法可判断B；利用图像平移规律可判断C；若，且，必满足，求出的值，可判断D.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】由题意，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；即在上单调递增；在上单调递减，A：，正确；B：的极大值，也是最大值为时，即时，即，正确；C：∵上；上；∴要使，错误；D：不妨设，恰有两个不等的实根，则在上单调递增；在上单调递减，若，则，所以最小，B不符合题意.要证，即证，对C，因为，所以，，所以，即，C不符合题意.只需证明，对D，因为，所以，即证明，即.令，，当时，，函数在上单调递增；所以，所以，即，故，正确.故答案为：ABD【分析】利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时m的取值范围，可判断C；取，要证，即证，构造函数，并利用导数研究单调性，进而确定g(x)在(-∞，0)上的符号，即可得，可判断D.12．【答案】A,D【解析】【解答】因为，所以，所以，，，即.对A，若，因为，，则，，，所以，A符合题意；对B，若，，则，，\n，所以D符合题意.故答案为：AD【分析】由已知结合等差数列的性质，根据条件得到，，然后逐项进行判断，可得答案.13．【答案】1【解析】【解答】解：因为所以，所以函数，所以，在处的切线的斜率为，又因为函数在处的切线与直线平行，所以，解得故答案为：1【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数值，再由两直线平行与斜率的关系列式求解m的值.14．【答案】A【解析】【解答】由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A【分析】由已知进行简单的推理，即可判断乙去过的城市为A.15．【答案】【解析】【解答】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图：，设，，，，则，解得，，点为边上的动点，设，，，，，当时，取得最小值，代入可得故答案为：的最小值是.【分析】以B为原点建立平面直角坐标系，设，由，可得n的值，再设，，结合平面向量数量积的坐标运算与配方法，即可求解出的最小值.16．【答案】；【解析】【解答】由题知：当时，，，，所以，所以，即.当时，，符合，所以项和为，即.设数列，前，当时，，当时，，检验：时，，所以，即，.设所以.故答案为：；\n【分析】首先根据题意得到当时，，，，从而得到，再利用累加法得到，设数列，前项和为，利用Tn与cn的关系即可得到，从而得到，设，再利用裂项法求解出Sn.17．【答案】（1）解：由题意可得，（2）解：根据题意，则有，即所以，，【解析】【分析】(1)由平面向量数量积的定义可得展开运算，即可求解出的值；(2)易得，由，代入运算，即可求得实数18．【答案】（1）解：∵，再根据的值.∴即∴∴或∵在中，∴故∴，即，∴（2）解：∵的面积为，且由第一问可知：由面积公式得：∴∵由余弦定理得：解得：∴的周长为【解析】【分析】(1)利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，由题意可求得B>C，进而根据，可得A的值；(2)由已知利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理可求b+c的值，即可求解△ABC的周长的值.19．【答案】（1）解：是奇函数，则，即，即，则，得，解得：或，当时，，此时无意义，不符合题意；当时，是奇函数，符合题意；所以，若，则，即，解得：，所以时，的取值范围为（2）解：由于，解得：，所以的定义域为，若，即，得，\n变形得，即，，则可得方程的两根分别为和，由题可知的解集为，即方程的两个根为和，所以得，，解得：，所以.【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义可知，则有，再根据对数的运算性质化简求出m的值，从而得出求出的取值范围；(2)解分式不等式得出的定义域为，再由，解对数不等式即可，再由得出，进而变形得，根据分式不等式的解法，从而得出方程的两根分别为和，再结合题意可求出a，t的值，即可求出的值.20．【答案】（1）解：当时，当时，所以（2）解：当时，当时，取得最大值，当时，，其中，当且仅当，即时，等号成立所以因为，所以当年产量为59千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为762万元【解析】【分析】（1）以分段函数为模型建立函数表达式，当时，，当时，，可得年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；（2）当时，利用二次函数的性质求出最值；当时，利用基本不等式求出最值，即可求出结论.21．【答案】（1）解：因为①，所以②，①-②得，即，又，当时，，故，也满足，所以（2）解：当时，，即时，奇数项作和可得：，；当时，，即，偶数项作和得③，④，\n③-④可得：，即，化简得，故的前项和为：【解析】【分析】(1)由数列的递推公式求得通项公式；(2)讨论n为奇数和偶数时cn的通项公式，再分别求和，再求出数列的前项和.22．【答案】（1）解：由，令，解得，，则，因为，，所以，①当由，，解得或，所以所以时，，，单调递减，由，解得，当时，，单调递增，故在，上单调递增；在上单调递减，②当，，在上单调递增；③当，由，解得或，由，解得故在，上单调递增；在上单调递减，综上所述，当时，在，上单调递增；在上单调递减，当，在上单调递增；在，当，上单调递增；在上单调递减（2）证明：对任意，当时，要证，需证，，令，则，令，所以，即，原不等式成立【解析】【分析】(1)求得f(x)的导数，由函数的单调性；，可得x1，x2，讨论a的取值，结合不等式的解法，可得(2)对任意，当时，要证，需证，令，求得导数，再令，求得导数，判断单调性，进而得到g(x)的单调性和最值，即可得证.