第四章几何图形初步4.2直线、射线、线段第2课时线段的长短比较与运算学习目标：1.会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.2.理解线段等分点的意义.3.能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.4.体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.5.了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.重点：作一条线段等于已知线段，理解线段的和、差，掌握线段中点的概念，理解“两点之间，线段最短”的线段性质.难点：利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差，利用线段的和、差、倍、分求线段的长度，“两点之间，线段最短”的实际运用.课堂探究一、要点探究探究点1：线段长短的比较合作探究：问题1做手工时，在没有刻度尺的条件下，如何从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长？问题2画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，如何再画一条与它相等的线段？,要点归纳：尺规作图：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法：1.画射线AC；2.在射线AC上截取AB=a.问题3若要比较两个同学的身高，有哪些办法？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？试一试：比较线段AB，CD的长短.(1)度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较：AB=_________;CD=_______,________>_______,所以_______>_______;(2)叠合法：将点A与点C重合，再进行比较：若点A与点C重合，点B落在C，D之间，那么AB_____CD.若点A与点C重合，点B与点D________，那么AB=CD.若点A与点C重合，点B落在CD的延长线上，那么AB_________CD.探究点2：线段的和、差、倍、分画一画：在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是与_________的和，记作AC=.如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是与的差，记作AD=.观察与思考：在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？要点归纳：,如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点.几何语言：∵M是线段AB的中点，∴AM=MB=AB，　或AB=AM=MB.例1若AB=12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?例2　如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．变式训练如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，线段AB、CD的中点E、F之间的距离是10cm，求AB，CD的长.方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.,例3　A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　）A．1cmB．9cm　　　　　C．1cm或9cmD．以上答案都不对变式训练已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）A．21cm或4cmB．20.5cm　　　　C．4.5cm　D．20.5cm或4.5cm方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：点在某一线段上；点在该线段的延长线上.针对训练1.如图，点B，C在线段AD上则AB+BC=____；AD－CD=___；BC＝___－___=___－___.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第1题图　　　　　　　　　　　第2题图　　　　　　　　第3题图2.如图，点C是线段AB的中点，若AB=8cm，则AC=cm.3.如图，下列说法，不能判断点C是线段AB的中点的是()A.AC=CBB.AB=2AC　　　C.AC+CB=ABD.CB=AB4.如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使AB=2a+b.,5.如图，线段AB=4cm，BC=6cm，若点D为线段AB的中点，点E为线段BC的中点，求线段DE的长.探究点3：有关线段的基本事实议一议：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.想一想：1.如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.2.把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？,　　　　　　　　第1题图　　　　　　　　　　第2题图要点归纳：1.两点的所有连线中，_____最短.简称：两点之间，_____最短.2.连接两点间的线段的_______，叫做这两点的距离.针对训练1.如图，AB+BCAC，AC+BCAB，AB+ACBC(填“>”“<”或“=”).其中蕴含的数学道理是.2.在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路l上建一个汽车站C，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.二、课堂小结1.基本作图：作一条线段等于已知线段.2.比较两条线段大小(长短)的方法：度量法；叠合法.,3.线段的中点.因为点M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB.(反过来说也是成立的).4.两点之间的所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．当堂检测1.下列说法正确的是()A.两点间距离的定义是指两点之间的线段B.两点之间的距离是指两点之间的直线C.两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度D.两点之间的距离是两点之间的直线的长度2.如图，AC=DB，则图中另外两条相等的线段为_____________.　　　　　　第2题图　　　　　　　　　　　　第3题图3.已知线段AB=6cm，延长AB到C，使BC=2AB，若D为AB的中点，则线段DC的长为_____________.4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．5.如图：AB=4cm，BC=3cm，如果点O是线段AC的中点．求线段OB的长度．6.如图，已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．,参考答案课堂探究一、要点探究探究点1：问题1将两根木棒叠放在一起，一端对齐，从较短的那根对应的地方截取.问题2画一条射线，用圆规量得之前所画线段长，在射线上以端点为圆心，量得长度为半径作圆，交射线于一点，此点与射线端点所构成的线段长等于之前所画线段长.问题3①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较.②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮.试一试（1）1.9cm2.6cm2.6cm1.9cmCDAB（2）①＜②重合③＞探究点2：画一画aba+baba-b观察与思考位于线段的中点【要点归纳】22例1解：因为AB=12cm，点C是AB的中点，所以AC=CB=AB=×12=6（cm），因为点D是线段CB的中点，所以CD=BC=×6=3（cm），所以AD=AC+CD=6+3=9（cm）．答：线段AD的长为9cm．,例2解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，则BE=x，CF=x，则x+2x+x＝24，解得x＝4，∴AB=12，∴BC=8，CD=20．变式训练解：设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5x（cm），CF=CD=2xcm．∴EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得x=4．∴AB=12cm，CD=16cm．例3C变式训练D【针对训练】1.ACACBDCDACAB2.43.C4.解：如图，AB为所作:5.解：∵AB=4cm，BC=6cm，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，∴BD=AB=×4=2cm，BE=BC=×6=3cm，∴DE=BD+BE=2+3=5(cm)．探究点3：议一议想一想1.如图，理由：两点之间，线段最短.,2.A，B两地间的河道长度变短. 【要点归纳】线段线段长度【针对训练】1.＞＞＞两点之间，线段最短2.如图所示.当堂检测1.C2.AD=BC3.15cm4.9或15.解：∵AC=AB+BC=4+3=7(cm)，点O为线段AC的中点，∴OC=AC=×7=3.5(cm)，∴OB=OC－BC=3.5－3=0.5(cm)．6.解:设AB=2x，BC=5x，CD=3x.所以AD=AB+BC+CD=10x.因为M是AD的中点,所以AM=MD=AD=5x.所以BM=AM-AB=5x-2x=3x.因为BM=6，所以3x=6，所以x=2，故CM=MD-CD=5x-3x=2x=2×2=4，AD=10x=10×2=20．