3．2一元二次不等式及其解法,自主学习新知突破,1．通过实例了解一元二次不等式．2．理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系．3．掌握一元二次不等式的解法．,已知一元二次不等式2x2－3x＋1&gt;0，二次函数y＝2x2－3x＋1，一元二次方程2x2－3x＋1＝0，[问题1]二次函数与x轴交点坐标是多少？[问题2]一元二次方程根是什么？,[问题3]x满足什么条件，函数图象在x轴上方？[问题4]能否利用问题3得出2x2－3x＋1&gt;0的解集？[问题5]不等式2x2－3x＋1&lt;0的解集呢？,(1)定义：只含有&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;未知数，并且未知数的&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;的不等式，称为一元二次不等式．(2)一般表达式：一元二次不等式的一般表达形式是ax2＋bx＋c&gt;0(或ax2＋bx＋c&lt;0或ax2＋bx＋c&ge;0或ax2＋bx＋c&le;0)(a&ne;0)，其中a，b，c为常数．(3)解与解集：使一元二次不等式成立的&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;叫做一元二次不等式的-&mdash;&mdash;，所有的解所组成的&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;叫做一元二次不等式的&mdash;&mdash;&mdash;&mdash;．一元二次不等式一个最高次数是2x的值解集合解集,1．解与解集的区别(1)不等式的解可以用区间、不等式或集合的形式表示出来，而解集只能用区间或集合的形式来表示．(2)要特别注意问题所要求的表达形式，如求解集，不用区间或集合形式而用其他形式来表示将是错误的．,解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．如下表：一元二次不等式的解法,,2．一元二次不等式的解法(1)图象法：一般地，当a&gt;0时，解形如ax2＋bx＋c&gt;0(&ge;0)或ax2＋bx＋c&lt;0(&le;0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；,③由图象得出不等式的解集．对于a&lt;0的一元二次不等式，可以直接采取类似a&gt;0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x&gt;q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．,1．不等式x(x＋1)≤0的解集为()a．[－1，＋∞)b．[－1,0)c．(－∞，－1]d．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选d.答案：d,2．不等式(x＋2)(1－x)>0的解集是()A．{x|x&lt;－2或x&gt;1}B．{x|x&lt;－1或x&gt;2}C．{x|－2<x<1}d．{x|－1<x<2}解析：不等式(x＋2)(1－x)>0，同解于(x－1)(x＋2)&lt;0.∵相应方程(x－1)(x＋2)＝0的两根为x1＝1，x2＝－2，&there4;(x－1)(x＋2)&lt;0的解为－2<x<1，即原不等式(x＋2)(1－x)>0的解集为{x|－2<x<1}．答案：c,3．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1},4．已知集合a＝{x|x2－x－6<0}，b＝{x|x2＋2x－8>0}，求A&cap;B.解析：∵A＝{x|x2－x－6&lt;0}＝(－2,3)，B＝{x|x2＋2x－8&gt;0}＝(－&infin;，－4)&cup;(2，＋&infin;)，&there4;A&cap;B＝(2,3)．,合作探究课堂互动,一元二次不等式的解法求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x&gt;6；(2)9x2－6x＋1&le;0；(3)－x2＋2x&gt;3；(4)x2－2x＋1&gt;0.,,(3)由－x2＋2x&gt;3得x2－2x＋3&lt;0.方程x2－2x＋3＝0的判别式&Delta;＝4－12&lt;0.&there4;方程x2－2x＋3＝0无实根，&there4;原不等式的解集为&empty;.(4)由x2－2x＋1&gt;0得(x－1)2&gt;0.方程(x－1)2＝0的根为x＝1.&there4;不等式x2－2x＋1&gt;0的解集为{x|x&ne;1}．,将一元二次不等式的二次项系数化为正数后，只要相应方程有两个不相等的实数根，不等式的解集可以按口诀&ldquo;大于取两边，小于夹中间&rdquo;记忆，其中&ldquo;取两边&rdquo;，&ldquo;夹中间&rdquo;是指&ldquo;取根的两边&rdquo;、&ldquo;夹根的中间&rdquo;.,,解析：(1)由(x－1)2&lt;3x＋7得x2－5x－6&lt;0，&there4;－1<x<6，∴a＝{x|－1<x<6}．∴a∩z＝{0,1,2,3,4,5}．(2)a，b中δ>0，&there4;解集不可能为R；C中，1&gt;0，且&Delta;&lt;0，&there4;解集为R；D中，2&gt;0，且&Delta;&lt;0，&there4;解集为&empty;.故选C.答案：(1)6(2)C,含参数的一元二次不等式的解法解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3&gt;0.,解析：原不等式可变形为(x－a)&middot;(x－a2)&gt;0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a&lt;0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a&gt;1时，有a2&gt;a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；,(4)当a＝0时，有x&ne;0；&there4;原不等式的解集为{x|x&isin;R且x&ne;0}；(5)当a＝1时，有x&ne;1，此时原不等式的解集为{x|x&isin;R且x&ne;1}；综上可知：当a&lt;0或a&gt;1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x&isin;R且x&ne;0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x&isin;R且x&ne;1}．,含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当&Delta;&gt;0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．,2．设m&isin;R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3&lt;0.,,三个&ldquo;二次&rdquo;关系问题,,,一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R或&empty;，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．,,,答案：(1)B(2)－10,◎解关于x的不等式(x－2)(ax－2)&gt;0.,,,,,,高效测评知能提升,谢谢观看！数学必修5第三章　不等式自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评知能提升</a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x></a或x></a或x></a或x></a2或x></a2或x></a<1时，有a></a或x></a2，∴x<a或x></x<6，∴a＝{x|－1<x<6}．∴a∩z＝{0,1,2,3,4,5}．(2)a，b中δ></x<1}．答案：c,3．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1},4．已知集合a＝{x|x2－x－6<0}，b＝{x|x2＋2x－8></x<1，即原不等式(x＋2)(1－x)></x<1}d．{x|－1<x<2}解析：不等式(x＋2)(1－x)></p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．,1．不等式x(x＋1)≤0的解集为()a．[－1，＋∞)b．[－1,0)c．(－∞，－1]d．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选d.答案：d,2．不等式(x＋2)(1－x)></q时，若(x－p)(x－q)>