,知识整合提升,,2．对比学习等差数列、等比数列的概念,3.类比学习等差数列、等比数列的性质等差数列等比数列性质①设{an}是等差数列，若s＋t＝m＋n，则as＋at＝am＋an；②从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列；③等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列，即：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列①设{an}是等比数列，若s＋t＝m＋n，则as·at＝am·an；②从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列；③等比数列中连续m项的和组成的新数列是等比数列，即：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等比数列(注意：当q＝－1且k为偶数时，不是等比数列),,,5．解决数列综合问题的注意点(1)理解数列是特殊的函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都可以从方程角度来认识，因此应理解数列中的函数与方程等价转化、分类与整合等常用数学思想．(2)善于将这类题目分解为若干个基本数学问题各个击破．(3)对数列应用问题，要知道数列是刻画离散现象的基本数学模型，善于在对日常生活中大量实际问题分析的基础上建立数列模型，然后综合运用数列及其他数学知识解决实际问题，体会数列与函数、方程之间的联系．,热点考点例析,【点拨】1.等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中包含四个元素：an，a1，n和d，很显然我们可以做到“知三求一”．2．在解题时，我们往往通过解方程(组)来确定a1和d，从而就可以确定等差数列了，但是，有时这种解法运算过程稍微复杂了一点，如果能够灵活使用另一个公式an＝am＋(n－m)d可以简化运算．等差数列通项公式,已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为：a,2a－1,3－a.,,,1．等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4答案：B,【点拨】运用等差数列的性质解题时，要注意序号与项的对应关系．在等差数列的学习过程中，最常见的错误是对等差数列性质的误用．公式am＋an＝ap＋aq(其中p＋q＝m＋n，m，n，p，q∈N*)表明，在等差数列中若每两项的序号和相等，则其对应项的和也相等，否则不成立．例如：我们有a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，但不能得出a6＝a2＋a4.等差数列的性质,已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？[规范解答]已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为：an＝3n－1，bm＝4m－3(m，n∈N*，且1≤n≤40,1≤m≤40)．令an＝bm，得3n－1＝4m－3，,,2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176答案：B,【点拨】新课标要求理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能在具体问题情境中识别数列的等比关系，还要求我们了解等比数列与指数函数的关系．等比数列的概念和性质,1．(1)等比数列的性质是等比数列基本规律的深刻体现，是解决等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识去应用．(2)在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．(3)“巧用性质、减少运算量”在等比数列的计算中非常重要，使用“基本量法”，并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果．,2．等比数列的概念、性质、通项公式是高考的必考内容，特别是与其他知识的交汇点，一直是考查的重要热点之一，常见的考题有：(1)判断、证明数列是等比数列；(2)运用通项公式求数列中的项；(3)解决数列与函数、三角、向量、几何等知识交汇点问题；(4)涉及递推关系的推理及运算问题．,,,,3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7解析：a4＋a7＝2，a5a6＝a4a7＝－8⇒a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4.a4＝4，a7＝－2⇒a1＝－8，a10＝1⇒a1＋a10＝－7，a4＝－2，a7＝4⇒a10＝－8，a1＝1⇒a1＋a10＝－7.答案：D,1．数阵的特点所谓数阵是指将某些数，按一定的规律排成若干行和列，形成图表，也称之为数表．例如大家都非常熟悉的“杨辉三角”．2．以数阵为背景的数列问题数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列，比较多见的是排成等差或等比数列，它重点考查等差、等比数列相关知识，有时也会出现其他类型的数列，解决此类问题的关键是找出其中的规律．以数阵为背景的数列问题,在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行第n＋1列的数是________.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………,[规范解答]由数表可知，第n行的第一个数为n，该行各数构成以n为公差的等差数列，因此该行的第n＋1个数为n＋(n＋1－1)n＝n＋n2.答案：n＋n2,4．整数排成一个三角形数阵：1第1行23第2行456第3行78910第4行1112131415第5行按照以上排列的规律，从左向右记第n行的第j个数为f(n，j)，n，j∈N*，我们称f(n，n)为三角形．现将所有的三角数按从小到大的顺序排成一三角数列，则满足等式f(n，n)＝f(28，28)＋59的f(n，n)是三角数列中的第________个．,答案：30,【点拨】解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列的类型：(1)如果问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列，或与等差、等比有关的数列，等等)应首先建立数列的通项公式．(2)如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般应考虑先建立数列的递推关系(即an与an－1的关系)．(3)解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”．数列在实际生活中的应用,假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：①每年年末加1000元；②每半年结束时加300元．请你选择：(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？,,,,5．某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？,下列数据供计算时参考：解析：(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b.由题设可知，1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，…，1.19＝2.381.00499＝1.041.110＝2.601.004910＝1.051.111＝2.851.004911＝1.06,,一、选择题1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于()A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n解析：∵an＋1－an＋1＝0，∴an＋1－an＝－1.∴数列{an}是以－1为公差的等差数列，又a1＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)(－1)＝3－n.答案：D,2．在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为()A．81B．120C．168D．192答案：B,3．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64解析：在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.答案：A,4．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1B．9C．10D．55解析：∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1.∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.答案：A,,6．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为________．,三、解答题7．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22，(1)数列{an}前多少项和最大？(2)求{|an|}前n项和．,,,,,章末质量评估,谢谢观看！