17.5实践与探索第17章函数及其图象导入新课讲授新课当堂练习课堂小结3.建立反比例函数的模型解决实际问题 学习目标1.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.2.能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力.(重点、难点)3.能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 导入新课对于一个长方形，当它面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数解析式可以写为(S＞0).请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式．实例：函数解析式：．三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x复习引入(S＞0)的反比例函数； 实际问题与反比例函数一例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?讲授新课解：根据圆柱体的体积公式，得Sd=104，∴S关于d的函数解析式为典例精析 (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘进多深?解得d=20.如果把储存室的底面积定为500m²，施工时应向地下掘进20m深.解：把S=500代入，得 (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?解得S≈666.67.当储存室的深度为15m时，底面积应改为666.67m².解：根据题意，把d=15代入，得 第(2)问和第(3)问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？第(2)问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，第(3)问则是与第(2)问相反．想一想： 长方形面积为6，它的长y与宽x之间的函数关系用图象可表示为()B练一练A.B.C.D.xyxyxyxy 例2码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?提示：根据平均装货速度×装货天数=货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数，得到v关于t的函数解析式.解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为 (2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.解：把t=5代入，得 练一练某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200立方米的生活垃圾运走．(1)假如每天能运x立方米，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；解： (2)若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？解：x=12×5=60，代入函数解析式得答：若每辆拖拉机一天能运12立方米，则5辆这样的拖拉机要用20天才能运完. (3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？解：运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60=720(立方米)，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运720÷6=120(立方米)，所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10(辆)，即至少需要增加拖拉机10－5=5(辆). 例3小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?反比例函数在物理中的应用二解：根据“杠杆原理”，得Fl=1200×0.5，∴F关于l的函数解析式为当l=1.5m时，因此撬动石头至少需要400N的力. (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?解：当F=400×=200时，由200=得3－1.5=1.5(m).对于函数，当l＞0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m. 想一想：在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 假定地球重量的近似值为6×1025牛顿(即阻力)，阿基米德有500牛顿的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？由已知得F×l＝6×1025×2×106=1.2×1032，当F=500时，l=2.4×1029米，解：2000千米=2×106米，练一练变形得：故用2.4×1029米长的动力臂的杠杆才能把地球撬动. 例4某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)也随之变化变化.如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？解：由得p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数． (2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？解：当S＝0.2m2时，故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa． (3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？解：当p=6000时，由得对于函数，当S＞0时，S越大，p越小.因此，若要求压强不超过6000Pa，则木板面积至少要有0.1m2. (4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．20000.10.5O0.60.30.20.410003000400050006000S/m2p/Pa解：如图所示. 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷(木板的重量忽略不计)()A.至少2m2B.至多2m2C.大于2m2D.小于2m2练一练204060O602040S/m2p/(N/m2)A 例5一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?U~解：根据电学知识，当U=220时，得 (2)这个用电器功率的范围是多少?解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入求得的解析式，得到功率的最大值把电阻的最大值R=220代入求得的解析式，得到功率的最小值因此用电器功率的范围为220~440W. 1.在公式中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为()D练一练A.B.C.D.IRIRIRIR 2.在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I＝0.5安培时，求电阻R的值．解：(1)设∵当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培，∴U=10．∴I与R之间的函数关系式为(2)当I=0.5安培时，，解得R=20(欧姆)． 当堂练习1.面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象可大致表示为()A.xy1O2xy4O4B.xy1O4C.xy1O414D.C 2.(1)体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度y(单位：cm)与面条粗细(横截面积)S(单位：cm2)的函数关系为.(2)某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗1mm2，则面条的总长度是cm.2000 3.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应()A.不大于B.小于C.不小于D.大于CO60V/m3p/kPa1.6 4.受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有300牛顿的力量，他该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头.2米 5.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)是体积V(单位：m3)的反比例函数，它的图象如图所示，当V=10m3时，气体的密度是.21345V/m3ρ/(kg/m3)5O632411kg/m3 6.蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图所示．(1)求这个反比例函数的表达式；解：设，把M(4，9)代入得k=4×9=36.∴这个反比例函数的表达式为.O9I(A)4R(Ω)M(4，9) (2)当R=10Ω时，电流能是4A吗？为什么？解：当R=10Ω时，I=3.6≠4，∴电流不可能是4A． 7.在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示.(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；5024x(m/天)y(天)O解： (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？解：由图象可知共需开挖水渠24×50=1200(m)；2台挖掘机需要1200÷(2×15)=40(天). (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少m？解：1200÷30=40(m)，故每天至少要完成40m． 课堂小结实际问题中的反比例函数过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同