第17章函数及其图象17．1变量与函数第1课时变量与函数的概念及其表示方法学习目标：1．掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本的概念；2．了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．自主学习一、知识链接1．人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性）．如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”：、、．同时用“数”来表明“量”的大小．2．写出路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系：．二、新知预习阅读教材P28~30，完成下列问题：1．小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元/支，总价y(元)随铅笔的数量x(支)的变化而变化，在这个问题中，变量是________________，常量是____________．2．圆的面积S随着半径的变化而变化，已知它们的关系为：，在这个问题中，常量是，变量是．【要点归纳】变量：在某一变化过程中，可以取的量，叫做变量．常量：在某一变化过程中，取值始终的量，叫做常量．合作探究一、探究过程探究点1：常量与变量问题1如图是某日的气温变化图．看图回答：（1）这天的6时，10时和14时的气温分别为，自己任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温：； （2）这一天中，最高气温是，最低气温是；（3）这一天中，时段的气温在逐渐升高，时段的气温在逐渐降低； （4）在这张图中，主要体现了哪些数量的变化？答：．（5）在这张图中，你发现任意一个时刻对应的气温有几个？答：．结论：从图中我们可以看到，随着的变化，相应地也随之变化．每一个时刻t（时），都有的气温T（℃）与之对应． 问题2下表是某年中国人民银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率．观察下表：存期x三月六月一年二年三年五年年利率y(%)1．802．252．523．063．694．14 说一说：（1）在这个问题中，变化的量是　；（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取存期x的一个确定的值，都有的年利率y值和它对应；（3）随着存期x的增长,相应的年利率y　　　　．问题3收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：（1）在这个问题中，变化的量是；（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取波长λ的一个确定的值，频率f有值和它对应；（3）波长λ越大，频率f就　　；（4）试着找出频率f与波长λ的数值的关系为，把频率f用含波长λ的代数式表示为f=　　．问题4（1）圆的面积：如果用r表示圆的半径,S表示圆面积,则S与r之间满足下列关系:S=.（2）利用这个关系式,试求出半径为1cm,1.5cm,2cm,3cm,4cm时圆的面积,并将结果填入下表：（保留π） 半径r(cm)11.5234…圆面积S(cm2)…（3）由此我们可以发现：在这个问题中变化的量有个,它们是，圆的半径越大，它的面积就．（4）在上述变化过程中，任取圆半径r的一个确定的值，其面积S有的值和它对应.【要点归纳】在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t（时）和气温T(℃)，随着的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取量，叫做变量(variable)．问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终，我们称之为常量，如问题3中的300000，问题4中的π等．探究点2：函数的有关概念上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，我们就说x是，y是，此时也称y是x的函数．例如：问题1的自变量是，因变量是，也称是的函数．问题2的自变量是，因变量是，也称是的函数．问题3的自变量是，因变量是，也称是的函数．问题4的自变量是，因变量是，也称是的函数．例1写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量．（1）等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式；（2）时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)之间的关系式；（3）底边长为10的三角形的面积S与高h之间的关系式；（4）某种弹簧原长为20厘米,每挂物体1千克,伸长0．2厘米,挂上物体后的长度l(厘米)与所挂的物体的重量m(千克)之间的关系式；（5）某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0．2升水,饮水机中剩余水量V(升)与放水时间t(分)之间的关系式．例2指出下列关系式中，哪些y是x的函数？哪些不是？说出你的理由．（1）xy=2；(2)y2＝x；（3）x+y=5；（4）│y│=3x+1；（5）y=x2-4x+5；（6）y=│x│． 【针对训练】下列关于变量x，y的关系式：①y=2x+3；②y=x2+3；③y=2|x|；④y2-3x=10，其中表示y是x的函数的是．（填序号）探究点3：函数的表示方式表示函数关系的方法通常有三种：(1)，如问题3中的，问题4中的S＝πr2，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．(2)，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率的关系表．(3)，如问题1中的气温曲线．二、课堂小结常量与变量的概念变量在某一变化过程中，可以取不同值的量，叫做变量．常量在某一变化过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量．函数的概念一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数．函数的表示方法解析法、列表法、图象法当堂检测1．下列说法中，不正确的是（）A．函数不是数，而是一种关系B．多边形的内角和是边数的函数C．一天中时间是温度的函数D．一天中温度是时间的函数2．下列关系中，y不是x的函数的是()3．最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是（　）A．8时水位最高B．P点表示12时水位为0．6米C．8时到16时水位都在下降 D．这一天水位均高于警戒水位4．设路程为s(km)，时间为t(h)，速度为v(km/h)，当v=60时，路程和时间的关系式为，这个关系式中，是常量，是变量，是的函数．5．下表是某市2020年统计的该市女学生各年龄组的平均身高．(1)从表中你能看出该市14岁的女学生的平均身高是；(2)该市女学生的平均身高从岁开始迅速增加；(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量？哪个是因变量？6.分别写出下列各问题中的关系式，并指出各关系式中的常量和变量．（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；（2）一支蜡烛原长为20cm，每分钟燃烧0.5cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y（cm）与x（分钟）之间的关系；（3）有一边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系．参考答案自主学习一、知识链接1．长度体积质量2．s=vt二、新知预习1．总价，铅笔的数量铅笔的单价2．πS，r【要点归纳】不同数值保持不变合作探究一、探究过程探究点1：常量与变量问题1（1）-1℃，2℃，5℃8时的气温为0℃（2）5℃-3℃（3）3时~14时0时~3时，14时~24时（4）时间和气温的变化（5）任意一个时刻对应的气温只有1个结论：时间气温唯一 问题2（1）年利率y，存期x（2）唯一（3）随之增长问题3（1）波长λ，频率f（2）唯一（3）越小（4）f·λ=300000问题4（1）πr2（2）π2.25π4π9π16π（3）2半径r、圆的面积S越大（4）唯一【要点归纳】变化改变气温T时间t不同数值保持不变探究点2：函数的有关概念唯一自变量因变量tTTtxyyxλffλrSSr例1解:（1）y=180-2x．常量：-2,180；变量：底角度数x，顶角度数y.（2）s=110t．常量：110；变量：路程s，时间t.（3）S=5h．常量：5；变量：面积S，高h.（4）l=20+0.2m．常量：20,0.2；变量：长度l，所挂物体的重量m.（5）V=20-0.2t．常量：20,-0.2；变量：剩余水量V，放水时间t.例2解：（1）（3）（5）（6）中y是x的函数，(2)（4）中y不是x的函数.因为(2)（4）中一个x的值可以对应两个y的值.【针对训练】①②③探究点3：函数的表示方式（1）解析法（2）列表法（3）图象法当堂检测1.C2.C3.C4.s=60t60s，tst5.解：（1）146.1cm（2）12（3）上表反映了年龄组与女生平均身高之间的关系，年龄组是自变量，女生平均身高是因变量.6.解：（1）β=90°-α，90°是常量，α、β是变量．（2）y=20-0.5x，20，-0.5是常量，x，y是变量．（3）y=（2+x）2-22=4+4x+x2-4=x2+4x，4是常量，x，y是变量．