沪教版初中数学知识点汇总
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2022-03-02 15:28:50
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整式第一节整式的概念9.1.2.3、字母表示数代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。5、代数式不能含有“=、≠、<、>、≥、≤”符号。代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加×。2、若带入的值是负数时，应添上括号。3、注意解题格式规范，应写“当…..时，原式=……..”.4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。9.4整式1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母也是单项式。2、系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数6、整式：单项式和多项式统称为整式。9.5合并同类项1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。第二节9.6整式的加减：去括号法则：（1）括号前面是"＋"号，去掉"＋"号和括号，括号里各项的不变号；（2）括号前面是"－"号，去掉"－"号和括号，括号里的各项都变号。添括号法则（1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；（2）所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。第三节整式的乘法9.7同底数幂的乘法、9.8幂的乘方、9.9积的乘方：①同底数幂的乘法am·an=am+n(m、n都是正整数)。,同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方与积的乘方（am）n=amn(m、n都是正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘。（ab）n=anbn(n都是正整数)积的乘方等于各因式乘方的积。③同底数幂的除法am÷an=am-n(a≠0,mn都是正整数，且m＞n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。a0=1（a≠0）1ap任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1。a-p=(a≠0,p是正整数)任何一个不等零的数的-p(p是正整数)指数幂，等这个数的p指数幂的倒数。9.10整式的乘法：⑴单项式与单项式相乘： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。⑵单项式与多项式相乘： 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。⑶多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（ａ＋ｂ）（ｍ＋ｎ）＝ａｍ＋ｂｍ＋ａｎ＋ｂｎ。第四节、乘法公式9.11平方差公式①内容：（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝ａ²－ｂ²②意义： 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。③特征： Ⅰ.左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；Ⅱ.右边是乘式中两项的平方差；Ⅲ.公式中的ａ和ｂ可以使有理数，也可以是单项式或多项式。④几何意义： 平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。,⑤拓展：Ⅰ.立方和公式： （ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）＝ａ³＋ｂ³；Ⅱ.立方差公式：（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）＝ａ³－ｂ³。（ａ－ｂ）（ａ＋ａｂ＋ａｂ²＋…＋ａ²ｂ＋ａｂ＋ｂ）＝ａ-ｂ。9.12完全平方公式：①内容： （ａ＋ｂ）²＝ａ²＋ｂ²＋２ａｂ； （ａ－ｂ）²＝ａ²＋ｂ²－２ａｂ。②意义： 两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的２倍。两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的２倍。③特征： Ⅰ.左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的２倍，可简记为“首平方，尾平方，积的２倍在中央。”Ⅱ.公式中的ａ、ｂ可以是单项式，也可以是多项式。④推广： Ⅰ.（ａ＋ｂ＋ｃ）²＝ａ²＋ｂ²＋ｃ²＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａc； Ⅱ.（ａ＋ｂ）³＝ａ³＋ｂ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²；Ⅲ.（ａ－ｂ）³＝ａ³－ｂ³－３ａ²ｂ＋３ａｂ²。第五节因式分解 ⑴因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。注意：①因式分解的要求：Ⅰ.结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；Ⅱ.每个因式必须是整式；Ⅲ.各因式要分解到不能分解为止。②因式分解与整式乘法的关系：是两种不同的变形过程，即互逆关系。9.13提取公因式法：①提公因式法分解因式：ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ），这个变形就是提公因式法分解因式。这里的ｍ可以代表单项式，也可以代表多项式，ｍ称为公因式。确定公因式方法：系数：取多项式各项系数的最大公约数。字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。9.14公式法,②利用公式法分解因式：Ⅰ.平方差公式：ａ²－ｂ²＝（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）。Ⅱ.完全平方公式：ａ²＋ｂ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²； ａ²＋ｂ²－２ａｂ＝（ａ－ｂ）²。Ⅲ.立方和与立方差公式：ａ³＋ｂ³＝（ａ＋ｂ）（ａ²－ａｂ＋ｂ²）； ａ³－ｂ³＝（ａ－ｂ）（ａ²＋ａｂ＋ｂ²）。注意：（１）公式中的字母ａ、ｂ可代表一个数、一个单项式或一个多项式。（２）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。9.15.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。ｘ²＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）。9.16分组分解法：Ⅰ.将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。Ⅱ.适用范围：适合四项以上的多项式的分解。分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。④其他方法：.求根公式法：若ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的两根是ｘ１、ｘ２，ａｘ²+ｂｘ+ｃ=ａ（ｘ-ｘ１）（ｘ-ｘ２）。⑶因式分解的一般步骤及注意问题：①对多项式各项有公因式时，应先提供因式。②多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。第六节整式除法：9.17同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于零的数的零次幂为1，既：9.18单项式除以单项式：单项式与单项式相除的法则：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：①两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。9.19多项式与单项式相除：,多项式与单项式相除的法则： 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（ｍａ+ｍｂ+ｍｃ+ｄｍ）÷ｍ=ａｍ÷ｍ+ｂｍ÷ｍ+ｃｍ÷ｍ+ｄｍ÷ｍ。 注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。⑶整式的混合运算： 关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。※内容整理幂的运算am·an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbnam÷an=am-n单项式的乘法乘法公式因式分解提公因式法公式法多项式除以单项式多项式的乘法单项式的除法第十章分式10.1、（1）、分式的意义两个整式A/B相除，即A÷B时，可以表示为A/B.如果B中含有字母，那么A/B叫做分式。A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。10.2（2）、分式的基本性质整式整式和分式统称为有理式：：即有理式分式分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：A/B=A*C/B*CA/B=A÷C/B÷C（A,B,C为整式，且B、C≠0） ①约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式,的约分． ②分式的约分步骤：(1)如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式,将它们的公因式约去(2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别,再将公因式约去. 注:公因式的提取方法:取分子和分母系数的,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. ③一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时，一般将一个分式化为最简分式。④通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分。⑤分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. 注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的及单独字母的幂的乘积。注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质。(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程。10.3、分式的运算： ①分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b*c/d=ac/bd ②分式的除法法则:Ⅰ.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：a/b÷c/d=ad/bcⅡ.除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。10.4分式的加减③同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/c±b/c=a±b/c ④异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/b±c/d=ad±cb/bd 10.5分式方程：①分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. ②分式方程的解法:Ⅰ.去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);,Ⅱ.按解整式方程的步骤求出未知数的值;Ⅲ.验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).10.6整数指数幂及其运算※内容整理分式分式的性质分式运算分式方程约分通分乘除法加减法第十一章图形的运动1、平移定义和规律（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移（Translation）。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。关键：a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。（2）平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。（3）简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。2、旋转的定义和规律（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转（Circumrotate）。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。（2）旋转的规律(性质)：经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。),注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。（3）简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。3、图案的分析与设计①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。②图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。4、旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度α后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角α满足0<α<360）5、中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。6、把一个图形绕着一个定点旋转180后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中兴对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。7、轴对称知识回顾（1）轴对称图形定义：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形（AxiallySymmetricFigure）。折痕所在的直线叫做对称轴。（2）两个图形关于这条直线成轴对称：如果把一个图形沿某一条直线翻，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点。（3）注意：①轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。②成轴对称的两个图形，必定是全等图形。（4）轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等。（3）简单的轴对称作图：求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点。后依次连结各特征点即可。图形的平移旋转对称图形中心对称图形图形的运动图形的旋转中心对称轴对称图形,图形的翻折轴对称轴对称和轴对称图形之间的区别与联系：轴对称轴对称图形区别①指两个图形而言；②指两个图形的一种形状与位置关系。①对一个图形而言；②指一个图形的特殊形状。联系①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。轴对称几何图形的对称轴：名称是否是轴对称图形对称轴有几条对称轴的位置线段是２条垂直平分线或线段所在的直线角是１条角平分线所在的直线长方形是２条对边中线所在的直线正方形是４条对边中线所在的直线和对角线所在的直线圆是无数条直径所在的直线平行四边形不是０条第十二章实数第一节实数的概念12.1实数的概念有理数和无理数统称为实数。实数按如下方式分类：正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数,实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点表示一个实数。正数大于零，负数小于零，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大，两个负数，绝对值大的数反而小。无理数：无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数。第二节数的开方12.2平方根和开平方如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也就做二次方根。求一个数ɑ的平方跟的运算叫做开平方，ɑ叫做被开方数。一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数。零的平方根是零；负数没有平方根。正数ɑ的两个平方根可以用“±”表示，其中表示ɑ的正的平方根(又叫算术平方根)，读作“根号a”；表示ɑ的负平方根，读作“负根号ɑ”。零的平方根记作√0，√0=0.（1）当a>0时，（）²=a，（）²=a.（2）当a≥0时，=a;当a≤0时，=－ɑ12.3立方根和开立方如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，用“”表示，读作“三次根号ɑ”。中的ɑ叫做被开方数，“3”叫做根指数。求一个数ɑ的立方根的运算叫做开立方。正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。12.4n次方根如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于ɑ，那么这个数叫做ɑ的n次方根，当n为奇数时，这个数为ɑ的奇次方根；当n为偶数时，这个数为ɑ的偶次方根求一个数ɑ的n次方跟的运算叫做开n次方，ɑ叫做被开方数，n叫做根指数。实数ɑ的奇次方根有且只有一个，用“”表示，其中被开方数ɑ是任意一个实数,根指数n是大于1的奇数。正数ɑ的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n次方根用“”表示，负n次方根用“－”表示，其中被开方数ɑ>0，根指数n是正偶数（当n=2时，在±中省略n)负数的偶次方根不存在。零的n次方根等于零，表示为=0“”读作“n次根号ɑ”第三节实数的运算12.5用数轴上的点表示数有理数范围内绝对值、相反数意义：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数a的绝对值记作∣ɑ∣.绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；零的相反数是零。非零实数ɑ的相反数是－ɑ。实数大小的比较：,负数小于零；零小于正数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。两点间的距离：在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为ɑ、b，那么A、B两点的距离AB=∣ɑ－b∣.12.6实数的运算设ɑ>0，b>0，可知（·）=（）²·（）²=ɑb。根据平方根的意义，得=·。同理：=近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。第四节分数指数幂分数指数幂=（ɑ>0）=（ɑ>0）其中m、n为正整数，n>1.有理数指数幂有下列性质：设ɑ>b，b>0，P、q为有理数，那么（1）·=，=（2）=（3）本章小结,有理数实数的分类无理数实数用数轴上的点表示数运算法则及运算性质实数的运算近似数及近似计算数的开方分数指数幂有理数指数幂运算性质第十三章相交线、平行线第1节相交线13.1邻补角，对顶角相交线的定义：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。邻补角的定义：有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。垂线的定义：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：垂线段最短。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。,同位角：两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角。同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。平行线的概念在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。13.2垂线1.垂线与斜线通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：在平面内经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。2.点到直线的距离联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。13．3同位角，内错角，同旁内角（三线八角）第2节平行线13.4平行线的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）平行线具有以下基本性质：经过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）13.5平行线的性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。(两直线平行，同位角相等)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（对于直线、、,如果，那么。被称为平行的传递性）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都,是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。第十四章三角形第1节三角形的有关概念与性质14.1三角形的有关概念1.三角形的有关线段三角形的高，中线，角平分线2.三角形的分类锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形14.2三角形的内角和三角形的内角和等于。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。三角形的外角和等于。第2节全等三角形14.3全等三角形的概念与性质能够重合的两个图形叫做全等形。两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。全等三角形的对应边相等，对应角相等。14.4全等三角形的判定判定方法1在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S.A.S）。判定方法2在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为A.S.A）。判定方法3在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为A.A.S）。判定方法4在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S.S.S）。斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“HL”。,ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。三角形全等的证明思路 找夹角——ＳＡＳⅠ.已知两边 找直角——ＨＬ找另一边——ＳＳＳ 找边的对角——ＡＡＳⅡ.已知一边一角 边为角的邻边 找夹角的另一边——ＳＡＳ 找夹边的另一角——ＡＳＡ 边为角的对边——找任意一角——ＡＡＳⅢ.已知两角 找夹边——ＡＳＡ 找任意一边——ＡＡＳ第3节等腰三角形14.2等腰三角形的性质等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）。等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。14.3等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）。14.4等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。等边三角形的性质：等边三角形的每个内角等于。判定等边三角形的方法：（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形。（2）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。,1、线段的垂直平分线：定理：⑴线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。注意：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。2、等腰三角形：性质：①等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”。②等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°。定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称“等角对等边”。推论：①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、角的平分线：定理：①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。,第十五章平面直角坐标系第1节平面直角坐标系15.1平面直角坐标系在平面内取一点，过点画两条互相垂直的数轴，且使它们以点为公共原点。这样，就在平面内建立了一个直角坐标系。通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作轴）；另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条轴叫做纵轴（记作轴）。如图所示，记作平面直角坐标系；点叫做坐标原点（简称原点），轴和轴统称为坐标轴。在平面直角坐标系xOy中，点P所对应的有序实数对（ab)叫做点P的坐标，记作P（a,b)，其中ɑ叫做横坐标，b叫做纵坐标。象限的划分：经过点A（a,b)且垂直于x轴的直线可以表示为直线x=ɑ,经过点A(a,b)且垂直于y轴的直线可以表示为直线y=b.第2节直角坐标平面内点的运动15.2直角坐标平面内点的运动点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）。在直角坐标平面内，平行于x轴的直线上的两点A(,y)、B(,y)的距离AB=∣－∣；平行于y轴的直线上的两点C(x,)、D(x,)的距离CD=∣－∣.点的平移,在平面直角坐标系中，(m>0)将点（x,y）向右平移m个单位长度，可以得到对应点（x＋m，y）；将点（x,y）向左平移m个单位长度，可以得到对应点（x－m，y）；将点（x,y）向上平移m个单位长度，可以得到对应点（x，y＋m）；将点（x,y）向下平移m个单位长度，可以得到对应点（x，y－m）。坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。建立了直角坐标系的平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）。这样，原来平面内的点都可以用有序实数对来表示。在平面直角坐标系中，点所对应的有序实数对叫做点的坐标，记作，其中叫做横坐标，叫做纵坐标。原点的坐标是。的坐标是，的坐标是。在平面直角坐标系中对称点的特点：①关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） ②关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同）③关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)关于X轴对称的点的坐标为（x,y);与点M(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).一般地，在直角坐标平面内，与点M(x,y)关于原点对称的点的坐标为（-x,-y)。第十六章二次根式第一节二次根式的概念和性质,16.1二次根式1．二次根式的概念:式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．2．二次根式的性质①；②③；④16.2最简二次根式与同类二次根式1.被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式16.3二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：a+b=(a+c)(c0)（a0,b>0）(a0)第十七章一元二次方程17.1一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），称为一元二次方程的一般式，ax叫做二次项,a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项17.2一元二次方程的解法,1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式：；△=≥017.3一元二次方程的判别式1．一元二次方程：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式（）通过因式分解得=；、是一元二次方程的根2．把二次三项式分解因式时；如果≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式1．实际问题：设，列，解，答第十八章正比例函数和反比例函数18.1．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取之范围内，变量y随变量x的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内去顶的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值18.2正比例函数1．如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式，同时以这个函数解析式所确定的x与y的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数的图像,4．一般地，正比例函数的图像时经过原点O（0,0）和点（1，k）的一条直线，我们把正比例函数的图像叫做直线5．正比例函数有如下性质：（1）当k＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大（2）当k＜0时，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小18.3反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如的函数叫做反比例函数，其中k也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数有如下性质：（1）当k＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小（2）当k＜0时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大18.4函数的表示法1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法第十九章几何证明19.1命题和证明1．我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明2．能界定某个对象含义的句子叫做定义3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4．数学命题通常由题设、结论两部分组成5．命题可以写成“如果……那么……”的形式，如果后是题设，那么后市结论19.2证明举例1．平行的判定，全等三角形的判定19.3逆命题和逆定理1．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理19.4线段的垂直平分线1.线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。,2、 逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。19.5角的平分线1、角的平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。2、逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。19.6轨迹1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线2、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆19.7直角三角形全等的判定1．定理1：如果直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L）2．其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用19.8直角三角形的性质1．定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2．推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半3．推论2：在直角三角形中，如果一条之骄傲便等于斜边的一般，那么这条直角边所对的角等于19.9勾股定理1．定理：在直角三角形中，斜边大于直角边2．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方3．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形19.10两点间距离公式1．如果直角坐标平面内有两点、，那么、两点的距离八年级下册第二十章一次函数20.1一次函数的概念,1．一般地，解析式形如的函数叫做一次函数；一次函数的定义域是一切实数2．一般地，我们把函数（c为常数）叫做常值函数20.2一次函数的图像1．列表、描点、连线2．一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距3．一般地，直线与y轴的交点坐标是（0，b），直线的截距是b4．一次函数（b≠0）的图像可以由正比例函数的图像平移得到当b＞0时，向上平移b个单位，当b＜0时，向下平移b的绝对值个单位5．一元一次不等式与一次函数之间的关系（看图）20.3一次函数的性质1．一次函数具有以下性质：当k＞0时，函数值y随自变量x的值增大而增大当k＜0时，函数值y随自变量x的值增大而减小2．一次函数①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．20.4一次函数的应用1．利用一次函数及图像解决实际问题,第二十一章代数方程21.1一元整式方程1．（a是正整数），x是未知数，a是用字母表示的已知数。于是，在项ax中，字母a是项的系数，我们把a叫做字母系数，我们把a叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程2．如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程3．如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），那么这方程就叫做一元n次方程；其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程21.2二项方程1．如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为（，n是正整数）2．解一元n（n＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n次方根3．对于二项方程（）当n为奇数时，方程有且只有一个实数根当n为偶数时，如果ab＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab＞0，那么方程没有实数根21.3可化为一元二次方程的分式方程1．解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解2．注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3．换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用21.4无理方程1．方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2．整式方程和分式方程统称为有理方程3．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程4．解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤5．注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5二元二次方程和方程组1．仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程2．关于x、y的二元二次方程的一般形式是：（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零）3．仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。像这样的方程组叫做二元二次方程组4．能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程5．方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解21.6二元二次方程组的解法1．代入消元法2．因式分解法,21.7列方程（组）解应用题第二十二章四边形22.1多边形1．由平面内不在同一直线上的一些线段收尾顺次联结所组成的封闭图形骄傲做多边形2．组成多边形每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点3．多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角4．对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余个边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形5．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）×180°6．多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角7．对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有的外角的和叫做多边形的外角和8．多边形的外角和等于360°22.2平行四边形1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；用符号表示2．（1）性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等简述为：平行四边形的对边相等（2）性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等简述为：平行四边形的对角相等（3）夹在平行线间的平行线段相等（4）性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分（5）性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点3．（1）判定定理1：如果一个四边形两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（3）判定定理3：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形（4）判定定理4：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形22.3特殊的平行四边形1．有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形2．有一组林边相等的平行四边形叫做菱形3．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角2：矩形的两条对角线相等菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角4．矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形2.：对角线互相垂直的平行四边形是菱形5．有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形6．正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形,2：有一个内角是直角的菱形是正方形7．正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等2：正方形的两条对角线相等，并互相垂直，每条对角线平分一组对角22.4梯形1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2．梯形中，平行的两边叫做梯形的底（短—上底；长—下底）；不平行的两边叫做梯形的腰；两底之间的距离叫做梯形的高3．有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形4．两腰相等的梯形叫做等腰梯形22.5等腰梯形1．等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底商的两个内角相等2．性质定理2.：等腰梯形的两条对角线相等3．等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形4．判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形22.6三角形、梯形的中位线1．联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半3．联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线4．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半22.7平面向量1．规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向2．既有大小。又有方向的量叫做向量，向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）3．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的量4．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量5．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量22.8平面向量的加法1．求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法2．求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量收尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量，这样的规定叫做向量加法的三角形法则3．一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量4．向量的加法满足交换律、结合律22.9平面向量的减法1．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法2．在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量；求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形法则3．减去一个向量等于加上这个向量的相反向量4．向量加法的平行四边形法则第二十三章概率初步23.1确定事件和随机事件1．在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件,2．在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件3．必然事件和不可能事件统称为确定事件4．那些在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机时间，也称为不确定事件23.2事件发生的可能性23.3时间的概率1．用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率2．规定用0作为不可能事件的概率；用1作为必然时间的概率3．事件A的概率我们记作P（A）；对于随机事件A，可知0＜P（A）＜14．如果一项可以反复进行的试验具有以下特点：（1）试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；（2）任何两个结果不可能同时出现那么这样的试验叫做等可能试验5．一般地，如果一个试验共有n个等可能的结果，事件A包含其中的k个结果，那么事件A的概率P（A）=事件A包含的可能结果数／所有的可能结果总数=k／n6．列举法、树状图、列表23.4概率计算举例第二十四章相似三角形第一节相似形24.1放缩与相似形1．形状相同的两个图形叫做相似的图形，简称相似形2．相似的图形，他们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形是全等形3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例4．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，通过放缩运动，两个相似的图形可以相互重合（即成为全等形）第二节比例线段24.2比例线段1．两条线段长度的比叫做两条线段的比2．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3．比例线段有以下性质：（1）基本性质（2）合比性质（3）等比性质4．黄金分割：如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中，AP是AB和AP的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点，AP与AB的比值称为黄金分割数，它的近似值为0.61824.3三角形一边的平行线1．定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例推论1：平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例,2．三角形三条中线的焦点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍3．定理2：如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边推论2：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4．两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等第三节相似三角形24.4相似三角形的判定1．如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，这两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比（或相似系数），当相似比等于1时，这两个相似三角形是全等三角形2．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似3．相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似4．相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似5．相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似6．直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似7．两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例24.5相似三角形的性质相似三角形具有以下性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形对应高的比、对应中线之比和对应角平分线的比等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；（4）相似三角形面积之比等于相似比的平方第四节平面向量的线性运算24.6实数与向量相乘1．实数与向量相乘的运算若k≠0且≠0，那么k的长度︱k︱=︱k︱︱︱;k的方向若k＞0时，k与同方向若k＜0时，k与反方向若k=0或=0，那么k=02．实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则（1）m(n)=(mn)（2）(m+n)=m+n（3）m(+b)=m+mb,向量加法、减法、实数与向量相乘等运算，与多项式的运算类似，但向量运算的结果仍是向量，是一个有长度与方向的量3．平行向量定理：如果向量b与非零向量平行（包括b、在同一直线上）那么存在唯一确定的实数m，使b=k*24.7平面向量的分解1．向量的加法、减法、实数与向量相乘，以及他们的混合运算，叫做向量的线性运算。如果、b是两个不平行的向量，x、y是实数，那么向量x+yb叫做向量、b的线性组合2．给定两个不平行的向量、b，对于任一个向量c，都可以确定它关于、b的分解式，也可作图法作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。第二十五章锐角三角比第一节锐角的三角比25.1锐角三角比1.理解锐角的三角比的定义及其表示方法和读法sinA=对边/斜边cosA=邻边/斜边tanA=对边/邻边cotA=邻边/对边2．能正确地运用定义并借助直角三角形边·角之间的关系解决有关问题3.定义的前提是个直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角4.若角A为锐角，则sinAcosAtanAcotA的取值范围分别是：0<sina<1;0<cosa<1;tana>0;cotA>05.同一个锐角的正切和余切互为倒数，即tanA·cotA=125.2特殊锐角的三角比的值1.三角函数角角度sinαcosαtanα30°45°160°2.理解同角，互余的两角的三角比之间的关系①倒数关系tanA=1/cotA②平方关系sin²A+cos²A=1③积商关系tanA=sinA/cosA；cotA=cosA/sinA④余角和余函数的关系：如果＋=90°，那么sinA=cosB；tanA=cotB(正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系)3．使用计算器求锐角的三角比的值第二节解直角三角形25．3解直角三角形,1．在直角三角形中，除直角外，还有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知两元素（其中至少有一条边），求出其他所有位置元素的过程，叫做解直角三角形2．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当的做高，化斜三角形为直角三角形，再求解3．解直角三角形的类型有两种情况：①已知两条边②已知一条边和一个锐角25．4解直角三角形的应用1、仰角和俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角2．坡角、坡度：坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用i表示，即i=h:l，通常坡度要写成i:m的形式；坡角的正切是坡面的坡度3．方向角：一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方向线所成的锐角4．解直角三角形应用题应注意的问题：①认清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；②认真分析题意，画出并找出要求解得直角三角形，有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）③选择合适的边角关系式，使运算简便，并且不易出错④按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按照题目中要求的精确度确定答案并注明单位第二十六章二次函数1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，∴顶点是,，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时,对称轴在轴左侧；③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0,)(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点(1)轴与抛物线得交点为()(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；,③没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故13．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．(2)二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根．(3)当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根14.二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等第二十七章圆与正多边形27．圆的确定1．圆是到定点的距离等于定长的点的集合。2．圆的两要素是圆心和半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。3．圆心相同的圆叫做同心圆。半径相等的圆叫做等圆。,1．经过一点A可以做无数个圆。经过A、B可以作无数个圆。经过不在同一直线上的三个点A、B、C可以做1个圆。2．三角形的外接圆的圆心叫做外心。3．一个三角形有1个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。4．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。5．经过四边形四个顶点的圆叫做四边形的外接圆。经过多边形每个顶点的圆叫做多边形的外接圆。27．2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）1．联接圆上任意两点间的线段叫做弦。过圆心的弦就是直径。2．直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。3．从圆心到弦的距离叫做弦心距。27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）1.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的劣弧或优弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优劣弧、两条弦、或两条弦心距，这四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也相等。27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）1.角平分线上的点到角两边的距离相等。27.3垂径定理（1）1.垂径定理：如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。（推论：弦心距平分弦）27.3垂径定理（2）1.如果圆的直径平分炫（这条弦不是直径），那么这条直径垂直这条弦，并且平分这条弦所对弧。2.如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直平分这条弧所对的弦。3.如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线过圆心，并且平分这条弦所对的弧。4.如果一条直线平分弦和它所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且垂直这条弦。5.如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且平分这条弦。27.3垂径定理（3）1.应用垂径定理，就可以把弦半径弦心距等的计算问题，归结为解直角三角形的问题。27.4直线与圆的位置关系1.根据定义（交点的个数）判断直线与圆的位置关系：直线L与圆相离<=>直线L与圆没有公共点；直线L与圆相切<=>直线L与圆只有一个公共点；直线L与圆相交<=>直线L与圆有两个公共点。2.根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d,那么直线L与圆相离<=>d>r直线L与圆相切<=>d=r直线L与圆相交<=>d<r27.5圆与圆的位置关系(1),1.根据定义（公共点的个数）判断圆与圆的位置关系：两圆相离<=>两圆没有公共点；两圆相切<=>两圆只有一个公共点；两圆相交<=>两圆有两个公共点；2．两圆相离包括外离和内含两种情况；两圆相切包括外切和内切两种情况。1.根据圆心距d与两圆的半径R、r(R>r)判断圆与圆的位置关系：两圆外离<=>d>R+r两圆外切<=>d=R+r两圆相交<=>R-r<d<r+r两圆内切<=>d=R-r两圆内含<=>d<r-r2.⊙〇1与⊙〇2相交于a.b两点，△〇1a〇2的三边长记为r、r、d，那么r+r>d,R-r</r-r2.⊙〇1与⊙〇2相交于a.b两点，△〇1a〇2的三边长记为r、r、d，那么r+r></d<r+r两圆内切<=></r27.5圆与圆的位置关系(1),1.根据定义（公共点的个数）判断圆与圆的位置关系：两圆相离<=></sina<1;0<cosa<1;tana>
沪教版初中数学知识点汇总
2023-01-11
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