利用函数图像解一元二次方程一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（华师版）九年级下册第二十六章，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过具体的二次函数的图像与x轴交点个数的不同创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。这样，学生结合图像就能直观地对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。这也突出了课标的要求：注重数形结合。本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。教学难点：1．探索方程与函数之间关系的过程。5 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。四、教学方法：启发引导合作交流五：教学媒体：计算机、实物投影。六、教学过程设计：检查预习引出课题→创设情境探究新知→例题学习巩固提高→练习反馈巩固新知→感悟本课，分享收获→分层作业，共同提高七、教学过程：[活动1]检查预习引出课题1．解方程：（1）x2－2x－3=0;(2)x2－6x+9=0;(3)x2－2x+3=0.2.回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解设计意图：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。[活动2]创设情境探究新知请同学们画y=x2－2x－3,y=x2－6x+9,y=x2－2x+3这三个二次函数的图像。问题：所画的图像与x轴交点的个数与对应的二次方程根的个数有什么联系？设计意图：教师提出问题，给学生独立思考的时间,也可学生分组探究，教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；引导学生总结归纳出正确结论。教师重点关注：1．学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用；2．学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的方法更准确。由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，促使学生能积极地参与到数学活动中去，体会二次函数与实际问题的关系；学生通过小组合作分析、交流，探求二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的合作精神，积累学习经验。二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系。(让学生填表)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2－4ac 两个交点两个相异的实数根  b2－4ac>0 一个交点 两个相等的实数根 b2－4ac=0 没有交点 没有实数根 b2－4ac<05 [活动3]例题学习巩固提高例1:不画图像，你能说出函数y=x2+x－6的图像与x轴交点坐标吗？例2利用函数图象求方程x2－2x－2=0的实数根（精确到0.1）设计意图：教师提出问题，引导学生根据以上总结独立完成，师生互相订正。学生解例2时，教师需重点关注：（1）学生在解题过程中格式是否规范；（2）学生所画图象是否准确，估算方法是否得当。通过以上总结，同学们已经从旧知识中寻找到新知识的生长点，很容易明确例题的解题思路和方法，这样既降低难点且突出重点。[活动4]练习反馈巩固新知（1）（2）设计意图：教师提出问题，学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题（2）学生独立思考后同桌交流，实物投影出学生解题过程，教师强调正确解题思路。教师重点关注：学生能否准确应用本节课的知识解决问题；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，积累解题经验。这两个题目就是对本节课知识的巩固应用，让新知识内化升华，培养数学思维的严谨性。[活动5]感悟本课，分享收获1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？2．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。教师重点关注：学生思考后回答，教师对学生的错误予以纠正，不足的予以补充，精彩的适当表扬。5 设计意图：通过思考小结，把所学的知识形成一个知识链，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验，并为层次不同的学生提供了展示自己的机会，尊重了学生的个体差异，同时使课堂小结不流于形式，而具有实效性。[活动6]分层作业，共同提高必做题：用图像法求下列一元二次方程的根：（1）x2－3x－4=0（2）x2－4x+4=0（3）x2－2x+5=0选做题：课本习题设计意图：让学生根据自己的学习情况来完成作业,作业分层，让每一位学生都感受到学习的成功，都能获得不同的发展。八、设计说明在本节课的教学中，我首先在课前让学生充分预习，了解这节课的内容。在课的开始采用学生熟悉的实际问题引入教学，目的是验证学生的预习，解决预习中的困难。在解决问题中，让学生自己动手去操作，小组合作，共同探索，使每一位学生都参与学习活动之中。作为教师的我，是本节课的引导者，参与者，和学生一起发现问题，探索问题，解决问题，与同学一起享受成功的喜悦。在探索的过程中，捕捉学生的闪光点，及时给与鼓励，使学生在愉悦的氛围中学习。尊重学生的个体差异，采用分层作业的形式，让每一位学生都能获得发展，体验到学习成功的快乐。九、教学反思：1．注重知识的发生过程与思想方法的应用《利用二次函数的图像解一元二次方程》内容比较多，而课时安排只一节，为了在一节课的时间里更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课给学生布置的预习作业，从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中，对新的知识的获得觉得不意外，让学生“跳一跳就可以摘到桃子”。探究二次函数图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形，从图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法。这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。2．关注学生学习的过程5 在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界。3．强化行为反思“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力”，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法。4．优化作业设计作业的设计分必做题和选做题，必做题巩固本课基础知识，基本要求；选做题属于拓广探索题目，培养学生的创新能力和实践能力5