18.1.2平行四边形判定第十八章平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第3课时三角形的中位线 学习目标1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.（重点）2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(重点） 问题平行四边形的性质和判定有哪些？导入新课复习引入边：角：对角线：BODACAB∥CD,AD∥BCAB=CD,AD=BCAB∥CD,AB=CD∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADCAO=CO,DO=BO判定性质 我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧.思考如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？ 讲授新课三角形的中位线定理一概念学习定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.ABCDE如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则线段DE就称为△ABC的中位线. 问题1一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ABCDEF有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.问题2三角形的中位线与中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？DE两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系猜想：DE∥BC？度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．问题4： 平行角平行四边形或线段相等一条线段是另一条线段的一半倍长短线分析1：DE猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．问题3：如何证明你的猜想？ 分析2：DE互相平分构造平行四边形倍长DE 证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．F∴四边形BCFD是平行四边形，∴CFAD,∴CFBD,又∵，∴DFBC．∴DE∥BC，．如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证：证一证 DE证明：延长DE到F，使EF=DE．F∴四边形BCFD是平行四边形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F连接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，证法2：，AD=CF,∴BDCF．又∵，∴DFBC．∴DE∥BC，．∴CFAD, 三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．DE△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，DE=BC．三角形中位线定理：符号语言：归纳总结 ABCDEF重要发现：①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.由此你知道怎样分蛋糕了吗 典例精析例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.123 例2如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°． 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.F恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．归纳 练一练1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．（1）若DE=5，则BC=．（2）若∠B=65°，则∠ADE=°．（3）若DE+BC=12，则BC=．10658 2.如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离为______m．NM40 例4如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）三角形的中位线与平行四边形的综合运用二分析： 证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG,EF=HG.∴EF∥AC,HG∥AC,∴四边形EFGH是平行四边形.顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.归纳 【变式题】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：如图，连接BD.∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD，∴EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形. 证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC.∵CF=BC，∴DE=FC．例5如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF； 例5如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（2）求EF的长．解：∵DE∥FC，DE=FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴EF=DC=． 练一练1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　）A.8B.10C.12D.16D 2.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．解：∵▱ABCD的周长为36，∴BC+CD=18．∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周长为OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15，即△DOE的周长为15． 当堂练习2.如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（　　）A.2B.3C.4D.51.如图，在△ABC中，点E、F分别为AB、AC的中点．若EF的长为2，则BC的长为（　　）A.1B.2C.4D.8第2题图第1题图CC 3.如图，点D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点.（1）若∠ADF=50°，则∠B=°；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为.5015ABCDFE 4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是.ABDCEFGH11 5.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AB=AF=6cm，BD=DF，∴CF=AC-AF=4cm，∵BD=DF，E为BC的中点，∴DE=CF=2cm． 6.如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解：AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE,∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF. 7.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．解：取BC边的中点G，连接EG、FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，∴∴EG∥AC,FG∥BD,G 课堂小结三角形的中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用