第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(9)一、单选题1．将一个矩形纸片按如图所示的方式折叠，则的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°2．如图．已知正方形的边长为．，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下个结论；①；②；③的周长是．其中正确的个数为（）A．B．C．D．3．如图，在▱ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③∠CFE=3∠DEF，④S四边形DEBC=2S△EFB；其中结论正确的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，矩形中，，点在边上，平分，，则长（）,A．B．C．D．5．如图是一张矩形纸片，，若将纸片沿折叠，使落在上，点C的对应点为点F，若，则（）A．B．C．D．二、解答题6．如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，，求的长．7．已知，如图矩形中，，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕为．（1）求的面积；（2）求证：．8．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．,(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=，BD=2，求OE的长．9．回顾：“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，通过学习，我们已经知道黄金比为．实践：我们把宽与长的比为的矩形叫做“黄金矩形”．若要将一张边长为2的正方形纸片剪出一个以为边的“黄金矩形”，请在边上作出这个黄金矩形的顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹．如用铅笔作图，必须用黑色水笔把线条描清楚．）10．如图，正方形的对角线、相交于点，、分别在、上，，求证：．11．（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．,（定理证明）（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．（定理应用）（2）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是　　．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值．12．问题提出：有一组对角互余的四边形称为对余四边形．（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为　　．问题探究：（2）如图①，在四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+BC2＝AC2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；问题解决：（3）为贯彻“精准扶贫”战略思想，某驻村扶贫干部准备帮助村民老王在他家的田地中划出部分区域来种植经济作物以提高家庭经济收入．如图②，四边形ABCD是老王家的田地示意图．其中AF为一条小路、∠BAD＝60°，AD＝40米．AB＞AD，∠ADC＝120°，DF＝20米．根据规划老王要在原有地块上划分出一个互余四边形AEFH来种粮食，剩余部分种植经济作物，十四五规划提出：严守18亿亩耕地红线，粮食一定要自给自足，当用来种粮的四边形地块AEFH满足点E在边AB上、点H在边AD上，且AE＝AH,时；此地块出产粮食能够满足老王家生活所需．为切实落实扶贫工作，尽可能多种经济作物，要使四边形AEFH占地面积最小．请问能否找到满足条件的点E、H？如果能，求出四边形AEFH面积的最小值及面积最小时线段AH的值；如果不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）13．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形．求证：CE＝CF．14．问题情境在数学课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学实践活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD>90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是___；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请证明这个结论；实践探究（3）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，请画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．15．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE,至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．16．如图1，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=24，BD=10，BE⊥DC于E．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求菱形ABCD的周长．（3）求BE的长；（4）如图2，在四边形FGHI中，FH⊥GI，且FH=8，GI=6，则四边形FGHI的面积=．17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．18．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，求∠CAD的度数．,19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，线段的端点在格点上．在图①、图②给定的网格中以为边各画一个四边形，四边形的顶点都在格点上，并求出所画四边形的面积．（1）在图①中画一个正方形，这个正方形的面积为．（2）在图②中画一个菱形（与图①所画图形不全等），这个菱形的面积为．20．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若OE⊥BD交BC于E，求证：BE＝2CE．三、填空题21．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝_____．22．正方形的顶点在直线上，过点和分别作直线于，作直线于，再分别以，为边构造正方形，这三个正方的面积如图所示分别为，，，如果，，则_______．,23．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为_____．24．如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B落在点E处，若AE∥BD，∠ADB＝28°，则∠AFC＝_____°．25．如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．26．如图所示，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，∠ABC=_____．27．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，且AD∥BC；AC的长为16，则DO的长为___．,28．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD的边长为8，与y轴交于点M（0，5），顶点C（6，﹣3），将一条长为2020个单位长度且没有弹性的细绳一端固定在点M处，从点M出发将细绳紧绕在正方形ABCD的边上，则细绳的另一端到达的位置点N的坐标为_____．29．如图，P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为_______30．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝CD，当AB＝_________时，四边形ABCD为菱形．,,【答案与解析】1．C【解析】如图，根据折叠的性质，得2α+∠ABC=180°，∠ABC=∠DCE=40°，计算即可．如图，根据折叠的性质，得2α+∠ABC=180°，∵折叠的纸片是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠DCE=40°，∴2α+40°=180°，∴α=70°，故选C．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．D【解析】根据折叠的定义可得，在根据HL可证，可得，，，，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+BC即可得到结论①②③正确正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∵DA=DF，DG=DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，,故结论①正确；,∴∠GDE=∠FDG+∠FDE=（∠ADF+∠CDF）=45°，故结论②正确∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，∴△BGE的周长=BG+BE+EC+AG=AB+BC，正方形ABCD的边长为的周长为24，故结论③正确；故选：D本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.3．D【解析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△CFG（ASA），,∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故④正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故③正确，故选：D．本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．4．B【解析】根据矩形的性质和等腰三角形的判定得出BC=CE，进而利用勾股定理解答即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=2，∠A=∠D=∠DCB=90°，∵∠DCE=45°，∴DE=DC=2，∴EC=2，,∵∠DCE=45°，∴∠DEC=45°，∵EB平分∠AEC，∴∠AEB=∠BEC=∠AEC=＝67.5°，∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBC，∴∠BEC=∠EBC，∴BC=CE=2，∴AD=BC=2，∴AE=AD-DE=2-2，故选：B．此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．5．A【解析】根据题意求出EC的长，根据翻折变换的性质得到四边形FECD是正方形，根据正方形的性质解答即可．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AE=AD=8cm，∵AD=8cm，BE=5cm，∴EC=3cm，由翻折变换的性质可知，四边形FECD是正方形，∴CD=EC=3cm．故选：A．本题考查的是翻折变换的性质、正方形的判定，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．（1）证明见解析，（2）2．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，继而证得结论；,（2）连接BO，由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解．证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形；（2）如图，连接BO，∵AB＝4，AF＝AE＝EC＝5，∴BE＝，∴BC＝8，∴AC＝，∵AO＝CO，∠ABC＝90°，∴BO＝AC＝2．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOF≌△COE是关键．7．（1）6；（2）见解析．【解析】（1）设ED=EB=x，则AE=9-x，在△ABE中，根据勾股定理，得到，求得x即可；,（2）根据折叠的性质，得∠DEF=∠BEF，根据平行线的性质，得∠DEF=∠BFE，从而得到∠BEF=∠BFE，问题得证．（1）设ED=EB=x，则AE=9-x，在△ABE中，根据勾股定理，得，∴，解得x=5，∴AE=9-x=4，∴=6；（2）根据折叠的性质，得∠DEF=∠BEF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，．∴BE=BF．本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）先根据平行线的性质可得∠OAB=∠DCA，再结合角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，即∠DAC=∠DCA，得出CD=AD，进一步可得CD=AD=AB，即可证明；（2）先说明OE=OA=OC，再求出OB=1，然后利用勾股定理求出OA=3即可求解．（1）证明：∵AB//CD，∴∠OAB=∠DCA∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD∵AD=AB∴CD=AD=AB∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=AB四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC,BD⊥AC,∵CE⊥AB,∴OE=AC=OA=OC∵BD=2∴OB=BD=1在Rt△AOB中，AB=，OB=1，∴OA=．本题主要考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判走和性质、直角三角形斜边上的中线性质、角平分线的走义、勾股走理等知识，考查知识点较多，灵活应用所需知识成为解答本题的关键证．9．答案见解析【解析】此题主要是确定矩形的长边，根据黄金比，只需要保证较短的边是较长的边的倍即可，这里可以熟练的运用勾股定理进行分析．,解：第一步，用圆规作出BC的中点H，则由题意可知，第二步，连接AH，以H为圆心，以BH为半径画弧交AH于O，由勾股定理知，而OH=HB所以AO=AH-OH=，第三步，以A为圆心，以AO为半径画弧交AD于F，过F点作FE⊥BC交BC于E，∵AF=AO=，∴故矩形ABEF即为所求．本题考查了作图-应用与设计，矩形的性质，正方形的性质等知识，此题主要是根据勾股定理分析出的长，然后利用尺规作图即可得到答案．10．见详解．【解析】根据正方形的性质得到OA=OB，AC⊥BD，证明△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质证明结论．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OB，AC⊥BD，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SAS）∴AE=BF．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的对角线垂直、平分且相等是解题的关键．11．（1）见解析；（2）135°；（3）BM长的最大值为4，最小值为1．【解析】（1）延长DE至F，使EF=DE，连接CF，证明△AED≌△CEF，得到AD=CF，∠A=∠ACF，证明四边形DBCF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；,（2）根据平行线的性质得到∠MPD=∠ABD、∠NPD+∠PDC=180°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（3）延长CB至H，连接FH，AH，根据三角形中位线定理得到BM=FH，根据勾股定理求出AH，结合图形计算，得到答案．解：（1）延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，在△AED和△CEF中，∴△AED≌△CEF（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，∴AB∥CF，∵AD＝DB，∴BD＝CF，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC；（2）解：∵M、P分别为AD、BD的中点，∴MP∥AB，∴∠MPD＝∠ABD，∵N、P分别为BC、BD的中点，∴PN∥CD，∴∠NPD+∠PDC＝180°，∴∠NPD＝180°﹣∠PDC，∵∠PDC＝∠E+∠ABD，∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°﹣∠E﹣∠ABD＝135°，故答案为：135°；（3）解：延长CB至H，使连接FH，AH，∵CM＝MF，∴BM＝FH，,由勾股定理得，AH＝＝5，当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2，当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8，∴BM长的最大值为4，最小值为1．本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．12．（1）90或270；（2）四边形ABCD为对余四边形，理由见解析；（3）能，四边形AEFH的面积为平方米，此时线段AH的长为2米．【解析】（1）根据对余四边形的定义分∠A与∠C互余和∠B与∠D互余两种情况讨论解答即可；（2）先判断出∠BAD=∠ABD=45°，进而判断出∠ADC=∠BDM，即可判断出△ADC≌△BDM（SAS），得出AC=BM．再根据勾股定理得出CM2=CD2+DM2=2CD2，进而判断出∠BCM=90°，即可得出结论；（3）构造图示的辅助线，利用勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质求解即可．（1）∵四边形ABCD是对余四边形，①当∠A与∠C互余时，∴∠A+∠C=90，②当∠B与∠D互余时，∠A+∠C=360-90=270，故答案为：90或270；（2）四边形ABCD为对余四边形，证明：∵AD⊥BD，,∴∠ADB=90°，∵DA=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，如图2，过点D作DM⊥CD，使CD=DM，连接CM，BM，∴∠DMC=∠DCM=45°，∵∠ADB=∠CDM=90°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDM+∠BDC，∴∠ADC=∠BDM．在△ADC和△BDM中，，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC=BM．在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2=CD2+DM2=2CD2，∵2CD2+CB2=AC2，∴CM2+CB2=BM2，∴△BCM是直角三角形，且∠BCM=90°，∵∠DCM=45°，∴∠DCB=∠BCM-∠DCM=45°，∴∠DCB+∠DAB=90°，∴四边形ABCD为对余四边形；,（3）过D作DN⊥AB于N，过F作FK⊥AB交AB延长线于K，过F作FR⊥AD交AD延长线于R，如图：在Rt△DAN中，∠AND=90，∠DAN=60，AD=40米，∴∠ADN=30，∴AN=AD=20(米)，∴DN=(米)，∵∠ADF=120°，∴∠FDR=180°-∠ADF=60°，在Rt△FRD中，∠FRD=90，∠FDR=60，DF=20米，∴∠RFD=30，∴DR=DF=10(米)，∴FR=(米)，∴AR=AD+DR=50(米)，∵∠DAB+∠ADF=180°，∴CD∥AB，∵DN⊥AB，FK⊥AB，∴∠DNK=∠FKN=∠NDF=∠KFD=90°，∴四边形DNKF是矩形，∴DF=NK=20米，DN=KF=20米，∴AK=AN+HK=40(米)，在Rt△ARF中，∠ARF=90，∴AF=(米)，以FH为边向上构建等边△HFM，连接EM，EH，,∵∠HAE=60°，AH=AE，∴△AHE是等边三角形，∴AH=HE，∠AHE=60°，∵△HFM是等边三角形，∴HF=HM，∠MHF=∠HFM=60°，∴∠AHE+∠EHF=∠FHM+∠EHF，∴∠AHF=∠EHM，在△AHF和△EHM中，，∴△AHF△EHM(SAS)，∴AF=EM=(米)，∵四边形AEFH是互余四边形，∴∠HAE+∠HFE=90°，∴∠HFM+∠HFE=90°，∴∠EFM=90°，在Rt△EFM中，∠EFM=90°，(米)，设AE=AH=x米，则EK=AK-AE=40-x(米)，HR=AR-AH=50-x(米)，在Rt△EKF中，，,，在Rt△HRF中，，，∵，即，∴，整理得：，解得：(舍去)，∴AE=AH=2(米)，(平方米)，∴能否找到满足条件的点E、H，使四边形AEFH是互余四边形，四边形AEFH的面积为平方米，此时线段AH的长为2米．本题是四边形综合题，主要考查了新定义，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形和等边三角形是解本题的关键．13．见解析【解析】由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△ABE，可得结论．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠B=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AF=AE，在Rt△ADF和Rt△ABE中，,，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），∴DF=BE，∴CE=CF．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．14．（1）菱形；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）首先证明四边形ACEC′是平行四边形，再由AC=AC′即可证明结论；（2）如图3中，过点A作AE⊥C′C于点E，首先证明DC′∥CB，DC′=BC，推出四边形BCC′D是平行四边形，再证明∠BCC′=90°即可得出结论；（3）利用平移的性质以及平行四边形的判定方法得出答案．解：（1）∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=∠CAC′=∠AC′D，∴AC′∥EC，∵∠CAC′=∠AC′D，∴AC∥EC′，∴四边形ACEC′是平行四边形，∵AC=AC′，∴四边形ACEC′是菱形．故答案为：菱形（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E由旋转得：AC′=AC，∴∠CAE=∠C′AE=∠α=∠BAC，∠AEC=90°，,∵BA=BC，∴∠BCA=∠BAC∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC．同理，AE∥DC′，∴BC∥DC′，又∵BC=DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，又∵AE∥BC，∠AEC=90°，∴∠BCC′=180°-90°=90°∴四边形BCC′D是矩形．（3）如图．平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A’B、DC结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．本题是四边形综合题．考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．15．（1）见解析；（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由见解析．【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，∴∠ABE=∠CDF，,∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE=OB，DF=OD，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC=2OA，AC=2AB，∴AB=OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，∴AG//CF，∴EG//CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵EG=AE，∴EG=CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF是矩形．本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．16．（1）120；（2）52；（3）BE；（4）24．【解析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可；（2）由勾股定理即可求得AB的长，进而求得菱形ABCD的周长；,（3）根据S菱形ABCD＝AB•BE，计算即可；（4）根据即可求解．解：（1）S菱形ABCD•AC•BD24×10＝120．（2）∵菱形ABCD中，BD＝10，AC＝24，∴OB＝5，OA＝12，AC⊥BD，在Rt△ABO中，AB13，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝52；（3）∵BE⊥DC于E，∴S菱形ABCD＝AB•BE，∴BE；（4）如图2，∵FH⊥GI，∴．故答案为：24本题考查了菱形的性质，面积公式以及不规则图形的面积求法，熟知菱形的性质和面积公式是解题关键．17．（1）见解析；（2）．【解析】（1）根据菱形的性质可得OC＝AC，即可证明DE＝OC，可得出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，可证明OCED是矩形，根据矩形的性质可得OE＝CD即可；（2）根据∠ABC＝60°，利用菱形的性质得出AC＝AB，即可求出OA的长，再根据勾股定理求出OD的长，再利用勾股定理得出AE的长度即可．（1）∵四边形ABCD是菱形，,∴OC＝AC，AC⊥BD，∵DE＝AC，∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，∵OA=AC=1，AC⊥BD，AD=2，∴OD=，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，∴在Rt△ACE中，AE＝．本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质及勾股定理，菱形中出现了60°角要求线段的长度时，一般要考虑两点：①图形中会有等边三角形，②以60°角的某一边为直角边的直角三角形，再利用勾股定理求解．熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．18．∠CAD=20°【解析】由四边形ABCD是菱形，可得OB=OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO=20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴OH=OB=BD，∵∠DHO=20°，,∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH是等腰三角形是关键．19．（1）作图见解析，面积为；（2）作图见解析，面积为【解析】（1）利用网格正方形的性质作即可得到答案；（2）利用网格正方形的性质作即可得到答案；解：（1）如图①，四边形是所求作的正方形，由勾股定理可得：故答案为：（2）如图②，四边形是所求作的菱形，故答案为：本题考查的是菱形，正方形的作图，菱形，正方形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．20．（1）见解析；（2）见解析,【解析】（1）只要证明AC=BD即可解决问题．（2）在RT△BOE中，易知BE=2EO，只要证明EO=EC即可证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，∵△ABO是等边三角形，∴AO=BO=AB，∴AO=OC=BO=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形；∴OB=OC，∠ABC=90°，∵△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°，∵OE⊥BD，∴∠BOE=90°，∠EOC=30°，∴∠EOC=∠ECO，∴EO=EC，∴BE=2EO=2CE．本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．21．【解析】先根据菱形的性质求出AB，再求出菱形面积，即可求出DH的值．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，,∴DH•5＝×6×8，∴DH＝．故答案为：本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和面积的两种表示方式是解题关键．22．10【解析】由题意利用“ASA”易证，即EC=DF．再根据，，即可求出BE和EC的长．最后利用勾股定理即可求出BC长，即能求出．根据题意可知，，．∴，．在和中，∴，∴EC=DF．∵，，∴BE=1，DF=3．∴EC=3．在中，∴．故答案为：10．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角以及勾股定理．掌握正方形的性质是解答本题的关键．23．2或【解析】根据题意，可分点P在边AD上或边AB上进行解答即可．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=8，∠A=90°，,∵点P是正方形边上一点，PD＝3AP，∴设AP=x，则PD=3x，①当点P在边AD上时，由x+3x=8得：x=2，即AP=2；②当点P在边AB上时，在Rt△APD中，由勾股定理得：，解得：，即AP=；③当点P在BC和CD上时，不存在点P满足PD＝3AP，所以，AP的长为2或，故答案为：2或．本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的和与差，利用分类讨论思想求出符合条件的所以情况是解答的关键．24．149【解析】根据矩形的性质得∠BAD＝∠ABC＝90°，再根据平行线的性质，由AE∥BD得到∠DAE＝∠ADB＝28°，接着根据折叠的性质得∠BAF＝∠EAF＝59°，然后根据三角形外角性质计算∠AFC的度数．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，∵矩形ABCD沿AF折叠，点B落在点E处，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．,故答案为149．本题考查了矩形的性质和折叠的性质，熟悉相关性质是解题的关键．25．10【解析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解．解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC，∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8，∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH，∴CH=8，∴，∵BC2=CH2+BH2，∴BC2=（16-BC）2+64，∴BC=10，故答案为：10．本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．26．120°【解析】由角平分线的作法得平分，据角平分线的定义、等腰三角形判定、平行四边形的性质及判定证得四边形ABEF为平行四边形；再据AF=AB最终证得四边形ABEF为菱形，结合其周长为40从而得到AB=AF=10；最后据BF=10得到是等边三角形，从而得到,，再据算得∠ABC的度数．解：由题意得，，平分，∴，∵四边形是平行四边形，∴．∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形为菱形，∵四边形的周长为40，∴．∵，∴AB=BF=AF∴是等边三角形，∴，∴．故答案为：120°．此题考查了角平分线尺规作图、等腰三角形判定、菱形判定性质、正三角形的判定和性质等，熟悉相关知识并能综合应用是关键．27．8【解析】由题意可以得到四边形ABCD为矩形，再根据矩形和直角三角形的性质求解．解：∵∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴AB∥DC，∵AD∥BC，,∴四边形ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵∠ADC=90°，∴OD=，故答案为8．本题考查矩形与直角三角形的综合应用，熟练掌握矩形的判定与性质、直角三角形的性质是解题关键．28．（﹣2，3）或（4，5）【解析】根据题意求出各点的坐标和正方形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．解：∵正方形ABCD的边长为8，∴CD＝DA＝BC＝AB＝8，∵M（0，5），C（6，﹣3），∴A（﹣2，5），B（6，5），D（﹣2，﹣3），∴AM＝2，BM＝6，∴绕正方形ABCD一周的细线长度为8×4＝32，∵2020÷32＝63…4，∴细线另一端在绕正方形第63圈的第4个单位长度的位置，即在AB边或在AD边上，∴点N的坐标为（﹣2，3）或（4，5）．故答案为：（﹣2，3）或（4，5）．本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标和正方形ABCD一周的长度，从而确定2020个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．29．【解析】将绕点A顺时针旋转得到，由旋转的性质及等边三角形的性质得出，，当E､F､P､C共线时，最小，然后利用直角三角形和勾股定理求解即可．如解图，将绕点A顺时针旋转得到，,∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴当E､F､P､C共线时，最小，作交的延长线于M，的延长线交的延长线于N，则四边形是矩形，在中，∵，∴，∵，∴，∴．∴的最小值为．本题主要考查等边三角形的判定及性质，解直角三角形和勾股定理，掌握这些性质是解题的关键．30．BC（答案不唯一）【解析】首先根据AB∥CD，AB=CD可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=AD或AB=BC．解：可添加的条件为AB=AD或BC．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，,∵AD=AB（或AB=BC），∴四边形ABCD为菱形．故答案是：AD或BC．本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．