第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(12)一、单选题1．如图，在矩形中，点，分别在边和上，把该矩形沿折叠，使点恰好落在边的点处，已知矩形的面积为，，则折痕的长为（）A．B．2C．D．42．如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED=EC，ED与AC交于点F，则的值为（　　）A．B．C．D．3．如图，锐角∠BOC＝α，∠AOC是它的邻补角，ADOC，OD平分∠AOC，P为射线OC上一点（不含端点O），连接PD，作∠DPE＝α，PE交直线AB于点E．甲、乙、丙、丁四位同学都对这个问题进行了研究，并得出自己的结论．甲：若点E与点O重合，四边形PEAD是菱形；乙：若α＝60°，一定PD＝PE；丙：若α≠60°，一定PD≠PE；丁：若α＝80°，可能PD＝PE．下列判断正确的是（　　）,A．甲、乙、丙正确，丁不正确B．甲、乙、丁正确，丙不正确C．甲、乙正确，丙、丁不正确D．甲、乙、丁不正确，丙正确4．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）A．4B．8C．4D．45．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，则的值为（）A．B．2C．D．6．如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足．连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点．在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有（）个,A．1B．2C．3D．47．如图，菱形ABCD的边长为9，面积为，P、E分别为线段BD、BC上的动点，则的最小值为（　　　）A．B．C．D．9二、解答题8．[问题解决]（1）如图1．在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点处，折线AE交BC于点E，连接B'E．求证：四边形是菱形．[规律探索]（2）如图2，在平行四边形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，点B恰好落在AD上的点Q处，点A落在点A′处，得到折痕FP，那么△PFQ是等腰三角形吗？请说明理由．[拓展应用]（3）如图3，在矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将纸片沿过点P的直线折叠，得到折痕FP，点B落在纸片ABCD内部点处，点A落在纸片ABCD外部点处，与AD交于点M，且M＝M．已知：AB＝4，AF＝2，求BP的长．,9．在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．（1）如图（1），求证：BE＝DF；（2）如图（2），设BE，DF交于点G，连接AC，EF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰三角形．10．如图，在某不完整的平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．（1）请画出符合题意的轴、轴，并画出将线段先向左平移2个单位再向上平移3个单位后得到的线段，其中点对应点为，点对应点为；（2）连接和，交点为，则______．11．如图，有一张矩形纸条，点分别在边上，．现将四边形沿折叠，使点分别落在点上．（1）当点恰好落在边上时，线段的长为_______；（2）点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，求点,相应运动的路径长度．（3）当点与点距离最短时，求的长．12．如图，已知在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是边AB上一动点，EF⊥AC于点F，ED⊥BC于点D，点G为FD的中点．（1）求证：四边形CDEF是矩形（2）当点E由点A运动到点B时，求点G的运动路径长．13．如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：．14．如图，已知平行四边形ABCD．（1）若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，求证：四边形AMCN是矩形；（2）若∠BAD＝120°，CD＝3，AB⊥AC，求平行四边形ABCD的面积．15．综合与实践问题情境：如图1，是线段上任意一点（不与点重合），分别以和为斜边在同侧构造等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．取中点中点，连接．猜想验证：（1）如图2，当点与点重合时，试判断与之间的数量关系，并说明理由；,延伸探究：（2）如图3，当点与点不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若，线段是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．16．如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形；（3）若，求的长．17．如图所示，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点．（1）求证：；（2）若菱形的边长为8，，求的长,18．如图，的对角线相交于点O，．（1）求证：；（2）若，连接，判断四边形的形状，并说明理由．19．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，．（1）求证：；（2）已知，，求线段的长度．20．如图，在中，，是上的一点，且，点是的中点，连结．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的周长．21．已知：如图，在中，为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．（1）求证：；,（2）求证：；（3）当点在什么位置时，四边形是矩形，请说明理由．22．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD＝2，CD＝3，试求四边形AEMF的面积．三、填空题23．如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕与相交于点；再次展平，连接，延长交于点；为线段上一动点．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤是的中点，则的最小值是．其中正确结论的序号是_______________．24．如图，在边长为1的正方形中，点为对角线上一动点，过点作，交直线于点，若为等腰三角形，则的长为____．25．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边，连接BE、CE，的度数是____________．,26．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为_____．27．如图，长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为，当沿折叠时，顶点落在边上的点处，则的长_________．28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是_____．29．在一张长为，宽为的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）则剪下的等腰三角形的面积为________．30．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E,，点G是AE中点且∠AOG=30°．某班学习委员得到四个结论：①DC=3OG；②OG=BC；③OGE是等边三角形；④S△AOE=S矩形ABCD，问：学习委员得到结论正确的是___________．（填写所有正确结论的序号）,【答案与解析】1．D【解析】由折叠的性质可知，BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，结合∠HEF＝60°可得△HEF为等边三角形，在Rt△FGH中，设FG=x，解直角三角形得到，进而得到AD=AF+FH+HD=4x，根据矩形ABCD的面积为，即可求解．解：由折叠的性质可知，BE＝EH，AF＝FG，GH＝AB，∠BEF＝∠HEF，∵∠BEF＋∠HEF＝180°-∠HEC＝120°，∴∠HEF＝60°∵FH∥CE，∠HEC＝60°，∴∠FHE＝∠HEC＝60°，∴△HEF为等边三角形，∴EF＝HE=FH，∵∠FHE＝60°，∠B=∠GHE=∠FHE＋∠GHF＝90°，∴∠GHF＝30°，在Rt△FGH中，∠GHF＝30°，∴FH＝2FG＝2AF，∴设FG=x，则FH＝2x，HD=x，则有，∴AD=AF+FH+HD=4x，又∵矩形ABCD的面积为，∴，∴x=2或x=-2（舍），∴EF=FH=4，故选：D．本题考查翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．2．B【解析】,过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，则G为AB的中点，∠EAC=∠DGE，得出DG是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出AC=2DG，由等腰三角形和三角形的外角性质证出∠ACE=∠EDG，由AAS证明△ACE≌△GED，得出AE=DG，由等腰三角形得性质和直角三角形斜边上的中线性质得出DG=AB=AG=BG，得出AE=AG，三角形中位线定理，得DG=2AF，因此AC=4AF，即可得出．过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，∵BD=DC，∴BG=AG，∴DG是△ABC的中位线，∴AC=2DG，∵DG∥AC，∴∠EAC=∠DGE，∵ED=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EDC=∠ABC+∠DEG，∠ECD=∠ACB+∠ECA，∴∠DEG=∠ECA，∴△ACE≌△GED，∴AE=DG，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴DG=AB=AG=BG，∴AE=AG，∵DG∥AF，∴AF是△EDG的中位线，∴DG=2AF，∴AC=4AF，∴CF=3AF，∴=．,故选B．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的中位线定理，三角形的全等，直角三角形斜边中线的性质，添加平行线，构造三角形中位线定理是解题的关键．3．A【解析】根据平行线的判定可得AEDP，则可结合已知ADOC得四边形PEAD是平行四边形，再利用角平分线与平行线性质证得，并推出，即可证明四边形PEAD是菱形；故甲正确；根据可分两种情况进行讨论，利用三角形的全等可证得，则证得结论的正确性；如果时，也可分别从两种情况证明两个三角形不具备全等的条件，即可证明结论不正确；综合与两种情况的证明结论，可得出丙的说法是正确的，则可得出最终结论．解：如图1，当点E与点O重合时，∵，，∴，∴AEDP，∵ADOC，∴四边形PEAD是平行四边形，∵OD平分∠AOC，∴，∵ADOC，,∴，∴，∴，∴四边形PEAD是菱形；故甲正确；当时，可从以下两种情况进行证明：如图2，若点E在OC上方，过点P作PF∥OA，交OD的延长线于点F，∴，∵，∴，∵OD平分∠AOC，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；如图3，若点E在OC下方，过点P作PF∥OA，交OD于点F，,∴，∵，∴，∵OD平分∠AOC，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，即，∴，∴；所以乙正确；当时，也可从以下两种情况进行证明：如图4，若点E在OC上方，过点P作PF∥OA，交OD的延长线于点F，∴，∵，∴，,∵OD平分∠AOC，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴无法证明，∴；如图5，若点E在OC下方，过点P作PF∥OA，交OD于点F，∴，∵，∴，∵OD平分∠AOC，∴，∴，∴，，∴，∴无法证明，∴；所以丁不正确；根据以上证明过程可知：当时，，当时，则，故丙正确；综上所述，甲、乙、丙正确，丁不正确．,故选：A．此题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．4．D【解析】由菱形的性质可得AB=AD=8，且∠A=60°，可证△ABD是等边三角形，进一步即可求解．解：连接BD,∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=8，且∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，∴BE⊥AD，且∠A=60°，∴AE=4，∠ABE=30°，∴，∵PE=BE∴，故选：D．本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．5．A【解析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．解：如图1，,∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形，连接AC，则AB2+BC2=AC2，∴，如图2，∠B=60°，连接AC，∴△ABC为等边三角形，∴，故选：A．本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．6．C【解析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∠ABH＝∠DCF，再判断出△ABH≌△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF＝45°，得出②正确；结合①②可得DF＝DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出④错误．解：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝45°，AB＝BC，∵BE＝BC，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝22.5°，在Rt△ABH中，∠AHB＝90°﹣∠ABH＝67.5°，∵∠AGH＝90°，∴∠DAE＝∠ABH＝22.5°，在△ADE和△CDE中，,，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE＝22.5°，∴∠ABH＝∠DCF，在△ABH和△DCF中，，∴△ABH≌△DCF（ASA），∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝67.5°，∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴67.5°＝22.5°+∠AEF，∴∠AEF＝45°，故①②正确；∵∠FDE＝45°，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠DEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴DF＝DE，∵AH＝DF，∴AH＝DE，故③正确；如图，连接HE，∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝67.5°，∴∠DHE＝45°，,∵∠ADE＝45°，∴∠DEH＝90°，∠DHE＝∠HDE＝45°，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误，∴正确的是①②③．故选：C此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．7．B【解析】过作于交于由菱形在轴对称性质可得：可得此时最短，再利用菱形的面积公式可得答案．解：过作于交于由菱形在轴对称性质可得：此时最短，菱形ABCD的边长为9，面积为，,所以的最小值是故选：本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，利用轴对称求解线段和的最小值，掌握以上知识是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）．【解析】（1）由平行线的性质和翻折可推出，即．故四边形是平行四边形，再由翻折可知，即证明平行四边形是菱形．（2）由翻折和平行线的性质可知，，即得出，即是等腰三角形．（3）延长交AD于点G，根据题意易证，得出结论，．根据（2）同理可知为等腰三角形，即FG=PG．再在中，，即可求出，最后即可求出．（1）由平行四边形的性质可知，∴，由翻折可知，∴，∴．∴四边形是平行四边形．再由翻折可知，∴四边形是菱形．（2）由翻折可知，∵，∴，∴，,∴QF=QP，∴是等腰三角形．（3）如图，延长交AD于点G，根据题意可知，在和中，，∴，∴，．根据（2）同理可知为等腰三角形．∴FG=PG．∵，∴在中，，∴，∴，∴．本题为矩形的折叠问题．考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强．掌握折叠的性质和正确的连接辅助线是解答本题的关键．9．（1）见解析；（2）图中的等腰三角形有，，，．【解析】（1）根据菱形性质可得，再由中点定义可推出，利用SAS证明，即可证得结论；（2）分别利用菱形的性质、中点定义及三角形全等找出图中所有的等腰三角形．,（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴．∵E、F分别是AD和AB的中点，∴．∵，∴．∴．（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴．∴，为等腰三角形．∵E、F分别是AD和AB的中点，∴，．∴为等腰三角形．∵，∴．∵，，∴．∴．∴为等腰三角形．∴图中的等腰三角形有，，，．此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．（1）见解析；（2）90°．【解析】（1）根据A、B的坐标建立建立合适的坐标系，然后根据平移法则作图即可；（2）连接、、、,然后用勾股定理求得、、、的长，说明四边形为菱形，最后根据菱形的性质即可说明．解：（1）如图所示：即为所求；（2）如图：连接、、、,由勾股定理可得：∵=，=，=，=,∴===∴四边形为菱形∴，即∠APB=90°．本题主要考查了平面直角坐标系、勾股定理以及菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解答本题的关键．11．（1）；（2）点相应运动的路径长度为；（3）【解析】（1）由折叠的性质可得，然后根据双平等腰的模型可得，然后利用勾股定理可求解；（2）由题意可探究点E的运动轨迹，可当点M与点A重合时，当时，当点E与点重合时，进而求解即可；（3）由（2）可得当点恰好落在边CD上时，则点与点距离最短，然后问题可求解．解：（1）当点恰好落在边CD上时，如图，∵四边形是矩形，∴，∴，,由翻折可知，，，，，∴，∴，∴，∴；故答案为；（2）由题意可得：当点M与点A重合时，如图，同理（1）中“双平等腰”模型可得AE=EN，此时DE的值最小，设，在Rt△ADE中，AD=BC=2cm，，由勾股定理可得：，即，解得：，∴，当点M运动到时，如图，此时DE的值最大，则，∴；,当点M运动到点落在边CD上时，如图，此时点E与重合，，∴综上：点E的运动路径长为；（3）由（2）可得当点恰好落在边CD上时，则点与点距离最短，由（1）可得，∴．本题主要考查翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握翻折的性质、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．12．（1）证明见详解；（2）．【解析】（1）先利用勾股定理逆定理证△ABC为直角三角形，可得∠ACB=90°，由EF⊥AC，ED⊥BC，可得∠CFE=∠CDE=90°，可证四边形CDEF为矩形；（2）连结CE，由四边形CDEF为矩形，证点G在CE上，点G的路径为△ACB的中位线MN，由M，N分别为AC，BC中点，可得MN∥AB，且MN=即可．解：（1）在△ABC中，，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°，∵EF⊥AC，ED⊥BC，∴∠CFE=∠CDE=90°，∴∠ACB=∠CFE=∠CDE=90°，∴四边形CDEF为矩形．（2）连结CE，,∵四边形CDEF为矩形，∵点G为FD的中点，∴FG=GD，∴点G在CE上，根据矩形性质CG=GE，当点E与点A重合时，点G与AC中点M重合，当点E与点B重合时，点G与BC中点N重合，∴点G的路径为△ACB的中位线MN，∵M，N分别为AC，BC中点，∴MN∥AB，且点G的运动路径长=MN=．本题考查勾股定理逆定理，直角三角形，矩形的判定与性质，三角形中位线判定与性质，掌握勾股定理逆定理，直角三角形，矩形的判定与性质，三角形中位线判定与性质是解题关键．13．见解析【解析】根据正方形的性质可得AD=AB=DC=BC,∠D=∠B=90°，再结合E、F分别为DC、BC中点，可得DE=DC、BF=BC,即DE=BF，然后运用SAS证明△EDA≌△FBA,最后利用全等三角形的性质解答即可．解：∵正方形ABCD∴AD=AB=DC=BC,∠D=∠B=90°∵E、F分别为DC、BC中点∴DE=DC、BF=BC,即DE=BF在△EDA和△FBA中∴△EDA≌△FBA（SAS）,∴AE=AF．本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定和性质定理是解答本题的关键．14．(1)证明见详解；（2）9【解析】（1）由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形；（2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD＝3，求得∠ABC＝60°，勾股定理即可求出AC,可得到结论．1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AC＝2OM，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠BCA=30°∴BC=6∴AC＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝AC•AB＝33＝9．,本题考查了矩形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．15．（1），见解析；（2）成立，见解析；（3）存在，【解析】（1）证明△CMD是直角三角形，连接AF，可得CD=2MF，由点与点重合得MF=EF，故可得结论；（2）延长交的延长线于点，连接，证明四边形CGDM是矩形，得到CD=MG，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得结论；（3）设AM=a，则BM=2-a，证明，根据勾股定理求出,确定CD的最小值，从而得到结论．解：（1）．理由如下：和都是等腰直角三角形，，．．,是的中点，，即．∵点与点重合，．（2）如图，延长交的延长线于点，连接，和都是等腰直角三角形，，．．∴四边形是矩形，是等腰直角三角形，．是的中点，，．是的中点，是的中点．在中，是的中点，，,，即．（3）设AM=a，则BM=2-a，和都是等腰直角三角形，∴∴∴所以，当时，取最小值1，即CD取最小值1，又∵EF=∴EF存在最小值为此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及勾股定理等知识，证明△CMD是直角三角形是解答本题的关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）2【解析】（1）由平行线的性质得∠OAB=∠DCA，由角平分线的性质得∠OAB=∠DAC，即可得出结论；（2）由等腰三角形的判定与性质易得CD=AD=AB，易证四边形ABCD是平行四边形，再由AD=AB，即可得出结论；（3）由菱形的性质得OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，由直角三角形斜边上的中线性质得OE=OA=OC，由勾股定理得OA==2，即可得出结果．解：（1）证明：∵AB//DC，∴∠OAB=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB=∠DAC，,∴∠DAC=∠DCA；（2）证明：∵∠DAC=∠DCA，AB=AD，∴CD=AD=AB，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴▱ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，∴OE=OA=2．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．17．（1）证明见解析；（2）【解析】(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，可得OE=CD即可；(2)根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．（1），四边形是菱形∴且∴，∴四边形是平行四边形．,，所以平行四边形是矩形，．（2）在菱形中，，．∴△是等边三角形．，．∴在矩形中，．∵矩形中，，∴在中，故答案为:．本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．18．（1）见解析；（2）矩形，见解析【解析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，借助SAS原理证明即可；（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形判定即可．（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴．在和中，，∴．（2）四边形是矩形．理由：由（1）知．∴四边形是平行四边形．又∵，∴平行四边形是矩形．,本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质，灵活选择矩形的判定定理是解题的关键．19．（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，由，等量代换得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出；（2）作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理即可求出，再求出的长，然后在直角中利用勾股定理得出的长．解：（1）连接，是边上的高线，是直角三角形，是边上的中线，是的中点，即是斜边上的中线，，，，，；（2）作于点，，，，，，，，，在直角中，，，，．,此题考查了勾股定理，三角形中位线的性质和等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．20．（1）见解析；（2）见解析；（3）25【解析】（1）在Rt△ADB中，点E是BD的中点；根据直角三角形的性质，可得BE=AE，故∠AEC=2∠B=∠C；（2）同（1），可得BD=2AE，再根据（1）的结论可得AE=AC，代换可得结论；（3）根据勾股定理可得AB的长，结合（1）（2）的结论，可得答案．解：（1）证明：∵AD⊥AB，∴△ABD为直角三角形．又∵点E是BD的中点，∴AE=BD，又∵BE=BD，∴AE=BE，∴∠B=∠BAE．又∵∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠AEC=∠B+∠B=2∠B．又∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C．（2）证明：由（1）可得AE=AC，又∵AE=BD，∴BD=AC，∴BD=2AC．（3）在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13,∴AB＝，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25．此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．21．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得∠1=∠2；（2）根据平行四边形的性质与AB=AC证得AC=ED，根据全等三角形的判定定理即可证得结论；（3）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠2，又∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠B=∠1，∴∠1=∠2；（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=ED，∵AB=AC，∴AC=ED，在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BC，∵D为边长BC的中点，∴BD=CD，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，,∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形．本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定的应用，证明两线段相等常用的方法就是转化为证两三角形全等．22．（1）四边形AEMF是正方形，证明见解析；（2）S四边形AEMF＝36．【解析】（1）据折叠特点，得到∠E=∠F=90°，AE=AF，再据∠BAC=45°得∠EAF=90°；由∠E=∠F=∠EAF=90°得四边形为矩形，再据AE=AF得其为正方形；（2）在（1）的基础上，知四边形AEMF为正方形，设其边长为x，用x表示出BM、CM，在RT△BMC中用勾股定理列出关于x的方程，解方程求得x，再对之平方可得四边形AEMF的面积．解：（1）据题意得如下图形∵AD⊥BC，△AEB是由△ADB折叠所得，∴∠1＝∠3，∠E＝∠ADB＝90°，AE＝AD又∵△AFC是由△ADC折叠所得∴∠2＝∠4，∠F＝∠ADC＝90°，AF＝AD∴AE＝AF，∠E=∠F=90°又∵∠1+∠2＝45°，∴∠3+∠4＝45°，∴∠EAF＝90°，∴∠E=∠F=∠EAF=90°∴四边形AEMF是矩形，又AE＝AF，∴四边形AEMF是正方形．（2）如下图,根据题意由折叠得：BE＝BD=2，CF＝CD=3设正方形AEMF的边长是x，∴BM＝x﹣2；CM＝x﹣3在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC2＝CM2+BM2，即（2+3）2＝（x﹣3）2+（x﹣2）2，解得x＝6或x＝﹣1（舍去），∴EM＝6，∴S四边形AEMF＝EM2＝62＝36．此题考查轴对称、正方形判定和运用勾股定理计算等知识，熟悉相关内容方法是关键．23．①③④⑤【解析】连接AN，根据折叠的性质，得直线EF是AB的垂直平分线，故NA=NB=BA，所以△ABN是等边三角形，所以∠ABN=60°；由∠ABM=∠NBM=30°，得BM=2AM，根据勾股定理，得AM=；由∠ABM=∠NBM=30°，得∠NBG=30°，BN⊥MG，得∠BMG=∠MBG=∠MGB=60°，故△BMG是等边三角形，由QN∥BG，∠MQN=∠MBG=∠MNQ=∠MGB=60°，故△MNQ是等边三角形，故QN=MN=AM=；根据点A、N关于直线BM对称，只需过点A作AR⊥BN，垂足为R，AR就是所求的最小值，有△ABN是等边三角形，所以R是BN的中点，所以R与H重合，由AB=2，∠BAH=30°，得BH=1，根据勾股定理，得AH==．如图，连接AN，根据折叠的性质，得直线EF是AB的垂直平分线，∴NA=NB=BA，∴△ABN是等边三角形，∴∠ABN=60°,∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∠ABM=∠NBM=30°，,∴BM=2AM，根据勾股定理，得，∴，∴AM=，∴②错误；∵∠ABM=∠NBM=30°，∴∠NBG=30°，根据折叠的性质，得BN⊥MG，∴∠BMG=∠MBG=∠MGB=60°，∴△BMG是等边三角形，∴③正确；∵QN∥BG，∴∠MQN=∠MBG=∠MNQ=∠MGB=60°，∴△MNQ是等边三角形，∴QN=MN=AM=，∴④正确；根据点A、N关于直线BM对称，只需过点A作AR⊥BN，垂足为R，AR就是所求的最小值，∵△ABN是等边三角形，∴R是BN的中点，∴R与H重合，∵AB=2，∠BAH=30°，∴BH=1，根据勾股定理，∴AH==，∴⑤正确；故正确答案为：①③④⑤．,．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，线段和的最小值，熟练掌握折叠的性质，等边三角形的判定是解题的关键．24．,【解析】分别讨论P点在线段DB两个端点、线段中点O点处、以及DO和BO之间的情况，根据角的关系判断其为三角形的可能情况以及边的关系，利用勾股定理以及线段的和差进行计算即可．解：由正方形的性质可知：，对角线互相垂直且把每组对角都分成了两个45°的角，接下来可分为以下情况讨论：①如图，当点P与点D重合时，此时点E与点C重合，且满足为等腰三角形，∴；②如图，当点P从点D运动到DB中点（不含端点）的过程中时，，∴∵∴为钝角，∴不是等腰三角形，∴该情况不成立；,③当P点运动到对角线的交点处时，此时E点与B点重合，不符合题意；当P点运动到与B点重合时，三角形不存在，即不符合题意；④如图，当点P从点O运动到点B的过程中时，∵，∴，若为等腰三角形，则有∵，∴又∵，∴∴∵∴，∴，∴．综上可得：PB的长为或．故答案为：或．,本题为几何中的动点问题，综合考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段的和差计算、角的计算等内容，要求学生熟练掌握计算公式并做到熟练运用，能分析图形里的边角关系，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想．25．．【解析】利用等边三角形的性质和正方形的性质，首先得出∠ABE＝∠AEB＝15°，进而得出答案．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∵三角形ADE为正三角形，∴AD＝AE，∠EAD＝60°，∴∠BAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴，故答案为：．本题考查了正方形和等边三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理计算．26．4．【解析】先求出AC，再利用菱形的面积公式求出BD，最后利用直角三角形的性质即可求解．解：∵OA=6，∴AC=2OA=12，∵菱形面积为48，∴，∴BD=8，∵DH⊥AB，,∴OH=（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），故答案为：4．本题综合考查了菱形的性质与面积公式以及直角三角形斜边上的中线相关内容，要求学生熟记相关概念与性质，并能灵活运用于线段之间的关系转换和计算，考查了学生对知识的运用能力与数形结合的能力．27．3【解析】根据折叠的性质，得AD=AF=BC=10，利用勾股定理，得BF=6，继而得到CF=4，设CE=x，则DE=EF=8-x，在直角三角形CEF中，根据勾股定理，得，解方程即可．根据折叠的性质，得AD=AF=BC=10，在直角三角形ABF中，根据勾股定理，得，∴，∴BF=6，∴CF=4，设CE=x，则DE=EF=8-x，在直角三角形CEF中，根据勾股定理，得，∴解得x=3，∴CE=3．故答案为：3．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，方程的思想，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．28．7【解析】,如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．解：如图，取的中点N，连接，．∵，，，∴，∵，∴∵，，∴∴，∴，即BM的最大值是7.本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．29．或或【解析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出边上的高，再代入面积公式求解；（3）先求出边上的高，再代入面积公式求解．解：分三种情况计算：（1）当时，如图：,cm2；（2）当时，如图：则，，cm2；（3）当时，如图：则，，cm2；故答案为：或或．本题主要考查矩形的角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分3种情况讨论，有一定的难度．30．①③④【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出,是等边三角形，判断出③正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．解：∵，点是中点，∴，∵，∴，，∴是等边三角形，故③正确；设，则，由勾股定理得，，∵为中点，∴，∴，在中，由勾股定理得，，四边形是矩形，∴，∴，故①正确；∵，，，∴，故②错误；∵，，∴，故④正确；综上所述，结论正确是①③④，故答案为：①③④．,本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设，然后用表示出相关的线段更容易理解．