第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(17)一、单选题1．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．平行四边形D．正方形2．如图，在菱形中，分别是边的中点，P是对角线上一动点，已知菱形边长为5，对角线长为6，则周长的最小值是（）A．11B．10C．9D．83．如图，有一张矩形纸条，点M，N分别在边上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点上．当点恰好落在边上时，下列结论不一定正确的是（）A．B．C．D．4．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长我们称为该图形的宽，矩形铅垂方向的边长我们称为该图形的高．如图2，已知菱形的边长为1，菱形的边水平放置，如果该菱形的高是宽的，那么菱形的宽是（）,A．B．C．D．25．已知，如图，在菱形ABCD中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（　　）（1）分别以C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．A．∠ABC＝60°B．如果AB＝2，那么BM＝4C．BC＝2CMD．S△ADMS△ABM6．如图，折叠矩形纸片ABCD，先把△ABF沿AF翻折，点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上，然后将纸片展开铺平，把四边形NCDM翻折，点C恰好落在AE的中点G处，折痕为MN，则（　　）A．当点N与点F重合时，∠AFM＝90°B．当GN∥AF时，∠HMG＝45°C．若AB＝2，AD＝3，则M恰好为DE的中点D．△GMN的面积有可能为矩形ABCD面积的一半7．如图，菱形的对角线的长分别为2和5，是对角线上任一点（点不与点，重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是（）,A．10B．7.5C．5D．2.5二、解答题8．如图，在四边形中，，，平分．（1）求证：四边形是菱形；（2）若菱形的边长为13，对角线，点、分别是边、的中点，连接并延长，与的延长线相交于点，求的长．9．已知：在中，，以为斜边作等腰，使得A，D两点在直线的同侧，过点D作于点E．（1）如图1，当时，①求的度数；②判断线段与的数量关系；（2）若，线段与的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．10．如图，、分别为的边、的中点，延长到，使得连、、,（1）求证：四边形是平行四边形（2）与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由11．在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：；（2）当（）时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．12．如图，四边形是平行四边形，过点A作交的延长线于点E，点F在上，且，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，求的长．13．定义：如图，，，，四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形．,（1）如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，求的长度；（2）如图，平行四边形，，，点在线段上且，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹）当最短时，请求出的长．14．已知：，CD平分．求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．作法：①分别以C、D为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N；②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：，为DC的垂直平分线．，．平分，．，,__________（）（填推理依据）同理可证，四边形DFCE为平行四边形．又____________________，四边形DFCE为菱形．15．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O和原点重合，，动点P从点O开始向点A运动，以为对称轴，把折叠，所得与矩形重叠部分面积为y．（Ⅰ）当点恰好落在上时，求点P坐标；（Ⅱ）①设，当时，求y关于t的函数关系式；②当重叠部分面积是矩形面积的时，求t的值．16．阅读下面材料：小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系．小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决．（1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________．（2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由．,17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合．（1）求证：AE＝AF；（2）求GF的长．18．阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：______，_______．（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形．（3）如图2，将绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到，连接，，，写出线段，，的数量关系为_______，并证明．,19．如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作的高；（2）在图2中，作的高．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）20．我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角，，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）如图2，已知为直角三角形，，以，，为边向外作正方形，正方形和正方形，连结．,①求证：与为偏等积三角形．②若，，则图中以点、、、、、、、、为顶点构成的三角形与是偏等积三角形的个数是________．（3）在中，，，点在线段上，连结，和是偏等积三角形，将沿所在的直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的一半，求的面积．21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形CFBD是平行四边形；（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）①当△ABC满足条件AC＝BC时，四边形CFBD是　．②当△ABC满足条件　　时，四边形CFBD是菱形．22．如图，四边形是矩形．（1）尺规作图：在边上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，，求．23．如图，中，，，，点D为的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点Q从点C出发，也以每秒1个单位的速度沿方向运动到点B，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒．,（1）当时，求的长；（2）如图2，当点Q运动至点B时，连结，求证：．（3）如图3，连结，当点E恰好落在的边上时，求所有满足要求的t值．24．如图，四边形ABCD为矩形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）当CE＝5，AO＝4，OF＝3时，求证：四边形AFCE是菱形．三、填空题25．如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、．则线段长的最小值为_______．26．如图，在中，分别为边上的点（不与端点重合）．对于任意，下面四个结论中：,①存在无数个四边形，使得四边形是平行四边形；②至少存在一个四边形，使得四边形菱形；③至少存在一个四边形，使得四边形矩形；④存在无数个四边形，使得四边形的面积是面积的一半．所有正确结论的序号是___________．27．如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是__________．28．已知：如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，，则的长为________．29．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝___．,30．如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为_____________．,【答案与解析】1．A【解析】利用三角形的中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；解：如图所示，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，∵G、H分别为CD、AD的中点，∴GH为△ACD的中位线，∴HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵E、H分别为AB、AD的中点，∴EH=BD，∵AC=BD，∴EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故选A．本题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．2．C【解析】,作点M关于BD的对称点，连接交BD于点．根据轴对称、菱形的性质可知点为AD的中点．再根据题意即可证明经过点O，即点O与点重合．即当点为P点时，最小为长，即此时的周长最小．根据勾股定理可求出，再利用中位线的性质即可求出长，最后由，求出即为的周长最小值．如图，作点M关于BD的对称点，连接交BD于点．根据对称的性质和菱形的性质可知点为AD的中点．又∵点N为BC中点，∴经过点O，即点O与点重合．∵，∴根据两点直线线段最短可知，当点为P点时，最小为长，即此时的周长最小．∵AC=6，∴．在中，，∴．∵点M，N分别为DC，BC的中点，∴．∵点，N分别为AD，BC的中点，∴，又∵，∴四边形为平行四边形．∴，∴，即的周长最小值为9．,故选：C．本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当点为P点时，的周长最小是解答本题的关键．3．D【解析】先根据翻折的性质可得C′N=CN，可判断A正确，∠1=∠2，B′M=BM，B′C′=BC=2cm，由CD∥AB，可得∠3=∠1，可推得∠2=∠3，可判断B正确，由四边形为矩形，可知∠C=90°，在Rt△B′C′N中，由勾股定理得，可得，可判断C正确，由，可判断D错误．解：因为梯形MB′C′N由MBCN折叠得到的，∴C′N=CN，故A正确，∴∠1=∠2，B′M=BM，B′C′=BC=2cm，∵CD∥AB，∴∠3=∠1，∴∠2=∠3，故B正确，∵四边形为矩形，∴∠C=90°，在Rt△B′C′N中，由勾股定理得B′N2=（B′C′）2+（C′N）2，∵，∴，,∴，∵∠2=∠3，∴，故C正确，∵，故D错误．故选择：D．本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握矩形折叠性质，等腰三角形的判定，勾股定理是解题关键．4．A【解析】先根据要求画图，设AF=x，则CF=x，根据勾股定理列方程可得结论．解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AF=x，则CF=x，在Rt△CBF中，CB=1，BF=x-1，由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，12＝（x−1）2+（x）2，解得：x=或0（舍），则该菱形的宽是，故选A．,本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解新定义中矩形的宽和高是关键．5．B【解析】利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM，利用勾股定理计算出BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．解：由作法得EF垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；当AB＝2，则CM＝DM＝1，∵∠D＝60°，∴AM，在RABM中，BM，所以B选项的结论错误；∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；∵AB//CD，AB＝2DM，∴S△ADMS△ABM，所以D选项的结论正确．故选：B．,【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．6．B【解析】根据矩形的性质及折叠前后对应的边、角相等逐个判断即可求解．解：根据折叠的性质，易得∠AFE＝45°．当点N与点F重合时，点M在AD边上，则∠AFM＜90°，故A错误；由折叠可得∠DMN＝∠HMN＝∠BNM，∠GNM＝∠MNC＝∠GDN，∠AFB＝45°，当GN∥AF时，∠GNF＝∠AFB＝45°，∴∠HMG＝＝45，故B正确；由折叠得，CN＝NG，点G是AE的中点，当AB＝2，AD＝3时，DG＝DC＝2，则四边形GNCD为正方形，此时点M与点D重合，故C错误；∵点G是AE的中点，∴△GMN的面积是矩形ABCD面积的一半时，GM＝AD，此时M点在AD的延长线上，根据题意显然不成立，故D错误．故选：B．本题考查了折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定等，属于综合题型，具有一定难度，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．7．D【解析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．设AP与EF相交于O点．,∵四边形ABCD为菱形，∴BC//AD，AB//CD．∵PE//BC，PF//CD，∴PE//AF，PF//AE．∴四边形AEFP是平行四边形．∴S△POF=S△AOE．即阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=AC•BD=5，∴图中阴影部分的面积为×5=2.5．故选：D．本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．8．（1）见解析；（2）10【解析】（1）根据题意可得，再根据等角对等边得出，然后根据一组对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定方法即可得证；（2）连接，交于点，根据题意得出，，再根据中位线的判定及菱形的性质即可证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质及勾股定理即可得出答案．解：（1）证明：∵平分，，∴，，∴，∴，又∵，，∴，∴四边形是平行四边形，,∵，∴四边形是菱形．（2）连接，交于点，如图，∵菱形的边长为13，对角线，∴，，∵点、分别是边、的中点，∴（中位线），∵、是菱形的对角线，∴，，又∵，，∴，∴四边形是平行四边形，∴，在中，∵，，，∴，∴．本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、三角形的中位线的判定及性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（1）①；②，理由见详解；（2）图见详解，线段与的数量关系保持不变，理由见详解．【解析】（1）①由题意易得，，则有，进而可得，然后问题可求解；②由①可得：∠CDE=∠EBD=25°，过点C作CH⊥AB，并延长，然后过点D作DF⊥CH的延长线于点F，则，然后可得四边形是矩形，进而可得△CFD≌△BED，则四边形是正方形，由此可得，最后问题可求解；,（2）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CG⊥ED，交ED延长线于点G，EG交AC于点F，由题意易证，进而可得，，，然后问题可求解．解：（1）①∵△BDC是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②，理由如下：由①可得：∠CDE=∠EBD=25°，过点C作CH⊥AB，并延长，然后过点D作DF⊥CH的延长线于点F，如图所示：∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴CH∥DE，∴∠FCD=∠CDE=∠EBD=25°，,∵△BDC是等腰直角三角形，∴，∴△CFD≌△BED（AAS），∴DE=DF，CF=BE，∴四边形是正方形，∴HF=HE，∵∠A=45°，∴△AHC是等腰直角三角形，∴AH=CH，∵，∴，∴；（2）线段与的数量关系保持不变，理由如下：由题可得如图所示：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CG⊥ED，交ED延长线于点G，EG交AC于点F，如图，∴，∵∠A=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∠AFE=45°，∴∠GFC=∠AFE=45°，∴△GFC是等腰直角三角形，∴GF=GC，∵△BDC是等腰直角三角形，,∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴．本题主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定及矩形的判定是解题的关键．10．（1）证明见解析；（2）AF=AD，证明见解析．【解析】（1）利用平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形去证明即可得到答案；（2）利用对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行条件判断即可．解：（1）∵E、C分别是AF、DF的中点∴AE=EF，CF=CD又∵CE=BE∴四边形ABFC的对角线互相平分∴四边形ABFC是平行四边形∴AB∥FC且AB=FC∴AB∥DC且AB=DC∴四边形ABCD是平行四边形．（2）当AF=AD时，四边形ABFC是矩形证明：∵E、C分别是AF、DF的中点∴由中位线定理得CE=又∵CE=BE∴BC=AD∴AF=AD=BC由（1）证得四边形ABFC是平行四边形，∴四边形ABFC是矩形．,本题主要考查了平行四边形和矩形的判定定理，中位线定理，解题的关键在于能够熟练的掌握相关的知识点．11．（1）证明见解析，（2）补图见解析，FE=DG+AH；证明见解析．【解析】(1)证四边形FABG是平行四边形，根据平行四边形性质和等腰三角形性质可证；(2)按题意画图，作AM⊥BE于M，交BG、CD于点L、K，证四边形ABLE是菱形，得出四边形FELG是平行四边形，证△ADK≌BAH，再证GL=GK即可．（1）证明：∵，，∴四边形FABG是平行四边形，∴∠FAB=∠FGB，∵∠FAB+∠AEB+∠ABE=180°，∠CGB+∠FGB=180°，∴∠CGB=∠AEB+∠ABE，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，∴；（2）补图如图3，线段之间的数量关系为：FE=DG+AH；作AM⊥BE于M，交BG、CD于点L、K，连接EL，∵AE=AB，∴EM=MB，∵，∴∠AEB=∠EBL，∠AME=∠LMB，∴△AME≌△LMB，∴AE=LB，∴四边形ABLE是平行四边形，∵AE=AB，∴四边形ABLE是菱形，∴EL∥AB，AB=BL，∵AB∥FG，∴EL∥FG，∴四边形FGLE是平行四边形，,∴FE=GL，∵AB=BL，∴∠LAB=∠BLA，∵AB∥FG，∴∠GKL=∠LAB，∴∠GKL=∠BLA，∵∠ALB=∠GLK，∴∠GKL=∠GLK，∴GL=GK，∴FE=GK，∵∠DAK+∠BAK=90°，∠ABH+∠BAK=90°，∴∠DAK=∠ABH，∵∠ADK=∠BAH，AD=AB，∴△ADK≌△BAH，∴DK=AH，∴FE=GK=DG+DK=DG+AH；本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形和平行四边形．12．（1）见详解；（2）【解析】（1）由题意易得，，则有，，进而可证，则有，然后问题可求证；,（2）由（1）可得，由勾股定理可得，设BF=x，则，进而可得，最后根据勾股定理可求解．解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是矩形；（2）由（1）可得：四边形是矩形，∵，∴，∴在Rt△AEB中，，设BF=x，则，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，在Rt△DFB中，由勾股定理可得，∴，即，解得：，∴．本题主要考查矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理是解题的关键．13．（1）3；（2）图见解析，【解析】（1）连接HF，证明△DHG≌△BFE（AAS），可得CG=3；,（2）作CG=BE=2，根据对角线垂直平分作内接菱形EFGH；当F与C重合，则A与H重合时，此时BF的长最小，就是BC的长，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理计算可得结论．（1）如图，连接HF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD∥BC，AB=CD=5，∴∠DHF=∠HFB，∵四边形EFGH是菱形，∴GH=EF，GH∥EF，∴∠GHF=∠HFE，∴∠DHF-∠GHF=∠BFH-∠HFE，即∠DHG=∠BFE，∴△DHG≌△BFE（AAS），∴DG=BE=2，∴CG=CD-DG=5-2=3；（2）①如图所示，作法：作DG=BE，连接EG，再作EG的垂直平分线，交AD、BC于H、F，得四边形EFGH即为所求作的内接菱形EFGH；如图，当F与C重合，则A与H重合时，此时最小，则BF的长最小，过E作EP⊥BC于P，,Rt△BEP中，∵∠B=60°，BE=2，∴∵四边形EFGH是菱形，∴AE=EC=3，∴∴BC=即当BF的长最短时，BC的长为本题是四边形的综合题，主要考查新定义-四边形ABCD的内接菱形，基本作图-线段的垂直平分线，菱形，熟练掌握基本作图及平行四边形、菱形和矩形的性质是解题的关键．14．（1）作图见解析；（2）DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．【解析】（1）根据题目作法可以得到求作图形；（2）由题意可以推得四边形DFCE为平行四边形，再由DE=EC可以得到四边形DFCE为菱形．（1）根据题目作法可以得到下面图形：其中四边形DFCE为所求作的菱形；,（2）证明：，为DC的垂直平分线．，．平分，．，DEFC（内错角相等，两直线平行）（填推理依据）同理可证，四边形DFCE为平行四边形．又，四边形DFCE为菱形．故答案为DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键．15．（Ⅰ）点P的坐标为；（Ⅱ）；②．【解析】(Ⅰ)根据点恰好落在上，由折叠的性质可得，再根据矩形的性质求解即可；(2)①两种情况：当在矩形内部(包含边界)，求出对应的表达式即可；当在矩形外部，由折叠得：，再根据，得到，即，则，最后在求出与的关系，再求出与的关系即可；②根据①中求解的表达式，代入值求解即可．(Ⅰ)当点恰好落在上时，由折叠的性质可得：，∵四边形为矩形，∴．∴四边形是正方形．,∴．即点恰好落在上时，点P的坐标为(2，0)(Ⅱ)①分两种情况：（第一种情况）当时，，由折叠得：．∴．（第二种情况）当时，由折叠得：．∵，∴．∴．∴．设，则，．在中，由勾股定理得：．解得：．∴．,综上所述：．②当时，，则（舍去）；当，，解得：（舍去），；综上所述：重叠部分面积是矩形面积的时，．本题主要考查了动点问题中矩形性质的综合运用，勾股定理的应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．16．（1）PM=PN，；（2）（或），理由见解析．【解析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等可证PG=PM=PN，再根据HL定理可证明DM=DG，GE=EN，最后根据矩形的性质和判定以及线段的和差可得结论；（2）由（1）可得PM=PH=PN，的周长a=PM+BN，根据角平分线的判定定理可得BP为∠ABC的角平分线上，根据含30°角的直角三角形的特点可得结论．解：（1）作PG⊥DE与DE交于G，∵DP为的平分线，，PG⊥DE，∴PM=PG，同理可证明PG=PN，∴PM=PN，在Rt△PDM和Rt△PDG中，∵PM=PG，PD=PD，,∴Rt△PDM≌Rt△PDG（HL），∴DM=DG，同理可证GE=EN，∴，∵，，，∴，∴四边形BNPM为矩形，∴PN=BM,PM=BN，∴故答案为：PM=PN，；（2）（或），理由如下：作PH⊥DE，连接BP，与（1）同理可证PM=PH=PN，的周长a=BM+BN，∴P在∠ABN的角平分线上，∵，∴∠ABP=∠PBN=30°，∴在Rt△BPM中，BP=2PM，根据勾股定理,同理可证，∴（或）．,本题考查角平分线的性质和判定，HL定理，矩形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理等．本题主要是角平分线的性质和判定定理的应用，理解角平分线上的点到角两边距离相等和在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上是解题关键．17．（1）详见解析；（2）3．【解析】（1）根据翻折的性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得；（2）根据翻折的性质可得，设，则，再根据勾股定理有：，于是有，进而得到．解：（1）由翻折的性质得，，矩形的对边，，，；（2）由翻折的性质得，，设，则，在中，，，解得：，，又由（1）可知，，，,由翻折的性质得，．本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出的长度是解题的关键．18．（1）矩形，正方形；（2）见详解；（3）DC2＋BC2＝AC2，理由见详解【解析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可；（2）根据题意画出图形即可；（3）首先证明△ABC≌△DBE，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．解：（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的有矩形，正方形；故答案为：矩形，正方形；（2）如图，（3）线段DC，AC，BC的数量关系为：DC2＋BC2＝AC2．证明：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE，又∵∠CBE＝60°，∴△CBE为等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°，,∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝30°＋60°＝90°，∴DC2＋EC2＝DE2，∴DC2＋BC2＝AC2．故答案为：DC2＋BC2＝AC2．本题考查四边形综合题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．19．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）格点中AB=AC且垂直，以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即可得到BC的高AM；（2）在正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直，AB是1×4格的对角线，那么4×1格的对角线与之垂直，又需过点C，所以如图所示的CF⊥AB交AB与点H，同理AC是4×3格的对角线，那么3×4格的对角线与之垂直，又需过点B，所以如图所示的BE⊥AC交AC与点D，又三角形的三条高所在的直线交于一点，所以连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．（1）如图1，∵格点中AB=AC且垂直，∴以AB、AC为边作正方形，连接对角线AM即AM⊥BC（2）如图2，∵AB是1×4格的对角线∴过点C且是4×1格的对角线即为如图所示的CF，∴CF⊥AB,同理AC是4×3格的对角线，∴过点B且是3×4格的对角线即为如图所示的BE∴BE⊥AC∵三角形的三条高所在的直线交于一点∴连接AG并延长交BC与点N，即AN为所求．本题主要考查了求作格点三角形的高线问题，主要方法有：构造特殊形状，如：正方形，菱形，利用对角线垂直的性质作高；正方形网格中，m×n格的对角线与n×m格的对角线互相垂直；三角形的三条高所在的直线交于一点，掌握以上的作图方法是解题的关键．20．（1）见解析；（2）①见解析；②8个；（3）或8【解析】（1）作BC边上的中线或AC边上的中线即可；（2）①过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，根据已知得出△EAK≌△BAC，进而得出EK=BC，再根据三角形面积公式即可得出结论；②根据已知找到跟△ABC等底等高的三角形即可；（3）①根据已知得出AD=CD，然后根据折叠得出AD=A'D，然后根据△A′BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半得出三角形面积之间的关系，然后得出A'O=DO，BO=CO，即可证明四边形A'CBD为平行四边形，即可得到A'B=CD，过点C作CM⊥AB于点M，利用∠A=30°可以证明点B与点M重合，进而得出AB的长度，即可求得结果；②首先根据已知得出AD=CD，然后根据折叠得出AD=A'D，然后根据△A'BD与BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半得出A'O=DO，BO=CO，进而得到四边形A'CDB是平行四边形，然后得出A'B=CD，过点B作BQ⊥AD于点Q，根据∠A=30°得出BQ的长度，即可求出结果．解：（1）作BC边上的中线或AC边上的中线即可．,（2）①证明：过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，∴∠K=90°，∵四边形ABDE和ACFG都是正方形，∴∠BAE=90°，AB=AE，∠GAC=90°，AC=AG，∵∠GAC+∠KAC=180°，∴∠KAC=180°-∠GAC=180°-90°=90°，∴∠EAK+∠BAK=∠BAC+∠BAK=90°，即∠EAK=∠BAC，又∵∠K=∠ACB=90°，AE=AB，∴△EAK≌△BAC（AAS），∴EK=BC，∴，∴△ABC和△AEG为偏等积三角形；②如图，与△ABC是偏等积三角形有△EAG，△BCG，△GCM，△ANC，△CNF，△CFD，△CME，△DBN；,故答案为：8个（3）①如图，连接A'C，∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，∴S△ABD=S△BCD，∴AD=CD=AC＝4，∵沿BD折叠，使得A与A'重合，∴AD=A'D=4，∵△A'BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，∴S△BOD＝S△BCD＝S△ABD＝S△A′DB，∴A'O=BO，CO=DO，∴四边形A'CBD是平行四边形，∴BC=A'D=4，过点C作CM⊥AB于点M，∵∠A=30°且AC=8，∴CM=AC=4=BC，即点B与点M重合，∴∠ABC=90°，∴，∴；②如图，连接A'C，∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，∴S△ABD=S△BCD，易得：AD=CD=AC＝4，∵沿D折叠使A与A'重合，,∴AD=A'D=4，∠A=∠A'=30°，∵△A'BD与BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，∴S△BOD＝S△BCD＝S△ABD＝S△A′BD，∴A'O=DO，BO=CO，∴四边形A'CDB是平行四边形，∴A'B=CD=4，过点B作BQ⊥AD于点Q，∵∠A'=30°且A'B=4，∴BQ=A'B=2，∴S△ABC＝2S△A′BD＝2×A′D•BQ＝2××4×2＝8，综上所述，△ABC的面积为8或．本题考查了四边形的综合题，解答本题主要利用了三角形的面积公式、正方形的性质、全等三角形的判定，其中中线等分面积，等积三角形即等底等高等方法是解本题的关键．21．（1）见解析；（2）矩形；（3）∠ACB＝90°【解析】（1）根据CD是AB边上的中线，E是CD的中点，可以证明△ADE≌△FCE；（2）①利用等腰三角形的三线合一的性质判断即可得出结论；②利用直角三角形的性质判断即可得出结论．解：（1）证明：∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵CF∥AB，∴∠EAD＝∠EFC，∠AED＝∠FEC，,∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝EF，∴DE是△ABF的中位线，∴DE∥BF，又CF∥DB，∴四边形CFBD是平行四边形；（2）①当△ABC满足条件AC＝BC时，四边形CFBD是矩形，理由如下：∵AC＝BC，CD是AB边上的中线，∴根据等腰三角形三线合一，CD也是AB边上的高线，∴∠CDB＝90°，∴▱CFBD是矩形；②当△ABC满足条件∠ACB＝90°时，四边形CFBD是菱形，理由如下：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD＝DB，∴▱CFBD是菱形．本题考查了菱形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握以上知识．22．（1）见解析；（2）【解析】（1）由矩形的性质知AD//BC，在边上求作点，，即，根据等腰三角形等边对等角的性质，得出BE＝BC，所以以B为圆心，BC长为半径画弧与AD交于点E，即为所求；（2）由矩形，，由（1）知BE＝BC＝10，在Rt△ABE中，由勾股定理求得AE＝6，则DE＝4，在Rt△CDE中，由勾股定理求CE的长即可．解：（1）作法：以B为圆心，BC长为半径画弧与AD交于点E，得BC＝BE，连接CE；∵四边形是矩形．∴AD//BC，∴，又∵BC＝BE，,∴，∴（2）∵四边形是矩形，，由（1）得AD＝BC＝BE＝10，AB＝CD＝8，∠A＝∠D＝90°，∴在Rt△ABE中，，∴DE＝10－6＝4，∴在Rt△CDE中，，本题考查了作图—基本作图，利用等腰三角形的性质等边对等角和平行线的性质，转化成边相等是解题的关键．还考查了矩形的性质和勾股定理解直角三角形．23．（1）；（2）见详解；（3）当点E恰好落在的边上时，t的值为或．【解析】（1）由题意易得AP=2，过点P作PH⊥AB于点H，进而可得，然后可得，最后利用勾股定理可求解；（2）由题意易得PE∥BD，PE=BD，进而可得PE∥AD，PE=AD，然后问题可求证；（3）由题意易得，AC=6，进而根据题意当点E恰好落在的边上时，则可分：①当点E恰好落在的边上时，②当点E恰好落在的边上时，然后分类求解即可．（1）解：由题意可得：，∵，，，∴，∵点D为的中点，,∴，过点P作PH⊥AB于点H，如图所示：∵，∴，∴，在Rt△AHP中，，∴，∴在Rt△PHD中，；（2）证明：∵点Q运动至点B时，四边形是平行四边形，∴PE∥BD，PE=BD，∵点D为的中点，∴，∴PE∥AD，PE=AD，∴四边形是平行四边形，∴；（3）由题意得：，∵，，，∴，当点E恰好落在的边上时，则可分：①当点E恰好落在的边上时，如图，,∵四边形是平行四边形，∴PE=DQ，PD=QE，DQ∥AC，∵∠ACB=90°，∴，∵点D为的中点，∴，∴，∴，∴，即；②当点E恰好落在的边上时，如图，过点D、E分别作DN⊥BC，EM⊥AC，垂足分别为N、M，∴，∵四边形PEQD是平行四边形，∴，∴，∵点D为的中点，,∴，∴CN=BN，∴，由（1）得：，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴在Rt△CME中，，∵，∴，解得：；由题意可知点E恰好落在的边上是不存在的，综上所述：当点E恰好落在的边上时，t的值为或．本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据四边形ABCD为矩形，可得AD∥BC，所以∠FAC＝∠ECA，∠AFE＝∠CEF，再根据O是对角线AC的中点，可得OA＝OC，进而证明△AOF≌△COE；（2）由（1）△AOF≌△COE，可得AF＝CE＝5，根据勾股定理的逆定理即可证明三角形AOF是直角三角形，可得EF⊥AC，进而可以证明四边形AFCE是菱形．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，,∴AD∥BC，∴∠FAC＝∠ECA，∠AFE＝∠CEF，∵O是对角线AC的中点，∴OA＝OC，∴△AOF≌△COE（AAS）；（2）由（1）知△AOF≌△COE，∴AF＝CE＝5，∵AO＝4，OF＝3，∴，即，∴∠AOF＝90°，∴三角形AOF是直角三角形，∴EF⊥AC，∵AF＝CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形．本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，三角形的全等，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键．25．【解析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM=OE=2，由勾股定理可得OM=，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，,∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM，在△EDO与△FDM中，∴△EDO≌△FDM(SAS)，∴FM=OE=2，∵正方形ABCD中，AB=4，O是BC边的中点，∴OC=2，∴∴∵OF+MFOM，∴∴线段OF长的最小值为故答案为：本题考查线段长度最短的问题，考查三角形的三边关系、勾股定理．正方形的性质，灵活的使用三角形的三边关系的不等式解决最值问题是难点也是常考点．26．①②④．【解析】根据平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定逐条判断即可．,解：只要满足AB∥EF，四边形是平行四边形，这样的EF有无数条，故①正确；因为，可在AD上截取AE=AB，再满足AB∥EF，四边形是菱形，故②正确；因为是任意，∠B不一定是直角，矩形不一定存在，故③错误；当EF经过对角线交点时，四边形的面积是面积的一半，故④正确．故答案为：①②④．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形、矩形的判定，解题关键是熟练运用所学四边形的性质与判定，准确进行推理判断．27．4．【解析】连接BD，根据中位线性质求出BD，再根据正方形对角线相等可求AC．解：连接BD，∵分别是的中点，∴BD=2EF=4，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD=4；故答案为：4．本题考查正方形的性质和中位线性质，解题关键是连接对角线，构建中位线．28．2【解析】先证明△APD≌△AEB，再证明△PEB是直角三角形，然后利用勾股定理计算出PD．证明：∵AE⊥AP∴∠EAP=90°∵在正方形ABCD中.∴∠BAD=90°，AB=AD∴∠EAB=∠DAP,又∵AE=AP，AB=AD∴△APD≌△AEB∴PD=EB，∠APD=∠AEB又∵AE⊥AP，AE=AP=1∴∠APE=45°=∠AEP，EP=∴∠APD=∠AEB=135°∴∠PEB=∠AEB-∠AEP=90°即△PEB是直角三角形、由勾股定理得:∴EB=PD=2本题考查全等三角形的证明、勾股定理的知识．灵活应用等量减等量差相等，找到相等的角是难点也是重点．29．【解析】连接AC交BD于P点，延长EO交CD于G点，根据菱形的性质求出AC的长度，并证明OF=OG，从而OE+OF＝EG，利用菱形的面积公式求解EG即可．如图所示，连接AC交BD于P点，延长EO交CD于G点，根据菱形的性质得：AB=10，BP=8，∠APB=90°，∴在Rt△APB中，根据勾股定理得：AP=6，∴AC=2AP=12，又根据菱形的对称性得：OF=OG，∴OE+OF＝EG，根据菱形的面积公式：，∴，解得：，即：，故答案为：．,本题考查菱形的性质以及面积公式，理解菱形的面积可由对角线乘积的一半进行计算是解题关键．30．6【解析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．解：连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF=DF，∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，∵正方形的边长为4，∴AD=AB=4，∠DAB=90°，∵点在上且，∴AE=3，∴DE=，∴的周长=5+1=6，故答案为：6．此题主要考查了正方形的性质，依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值是解题的关键．