第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(36)一、单选题1．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．42．如图，点O为矩形的对称中心，，点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形B．平行四边形→正方形→菱形→矩形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形3．下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）A．对角线垂直B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等4．如图，，、交于点，为斜边的中点，若，．则和之间的数量关系为（）A．B．C．D．5．如图，在矩形中，，，的平分线交于点．点，,分别是，的中点，则的长为（）A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，()A．若∠ACP=45°，则CP=5B．若∠ACP=∠B，则CP=5C．若∠ACP=45°，则CP=D．若∠ACP=∠B，则CP=7．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若，，则（）A．B．2C．D．8．如图，菱形中，，，点E是线段上一点（不与A，B重合），作交于点F，且，则周长的最小值是（）A．6B．C．D．二、填空题9．如图，在菱形中，，，点是直线，之间任意一点，连接，，，，则和的面积之和是______．,10．如图，在边长为8厘米的正方形中，动点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时动点在线段上以1厘米/秒的速度由点向点运动，当点到达点时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当时，的值为______．11．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为________．12．如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别是CD和BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为________cm．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（10，8），过点A作轴于点B，轴于点C，点D在AB上．将△CAD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点E处，则点D的坐标为_______．14．如图，矩形中，，，点E为上一个动点，把沿折叠，点D的对应点为，若落在的平分线上时，的长为_____．,15．如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若，则的长为__________．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M为AD的中点，点N为AB上一点，连接MN，CN，将△AMN沿直线MN折叠后，点A恰好落在CN上的点P处，则CN的长为_____．三、解答题17．如图，菱形的边长为2．，，分别是边，上的两个动点，且满足．（1）求证：；（2）判断的形状，并说明理由．18．如图，点在正方形的边上，点在边的延长线上，且．求证：．,19．如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．（1）求证：；（2）若点在上，且，判断线段之间的数量关系，并说明理由．20．问题情境：如图1，已知点是正方形的中心，以点为直角顶点的直角三角形的两边，分别过点，，且，，．（1）的长度为；操作证明：（2）如图2，将绕点按顺时针方向旋转，若，分别与，相交于点，．请判断和有怎样的数量关系，并证明结论；探究发现：（3）如图3，将绕点按顺时针方向旋转，若点恰好在上，求的度数．21．如图，将沿线段向右平移得到，此时，连接．,（1）求证：四边形是平行四边形；（2）①若，求证：四边形是菱形；②若，求证：四边形是矩形；③若，，求证：四边形是正方形．22．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：；（2）若AC平分，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．23．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．（1）求证：MC＝MD：（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．24．在中，，，是射线上一点，连接，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．（1）如图，当点在线段上时，连接，若，则线段，的数量关系是；,（2）当点在线段的延长线上时，依题意补全图形．①探究线段，的数量关系，并证明；②直接写出线段，，之间的数量关系．25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形．（2）连接DE，试判断四边形ACDE的形状，并证明你的结论．26．下图所示的三种拼块，，，每个拼块都是由一些大小相同、面积为个单位的小正方形组成，如编号为的拼块的面积为个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．（1）若用个种拼块，个种拼块，个种拼块，则拼出的正方形的面积为个单位；（2）在图和图中，各画出了一个正方形拼图中个种拼块和个种拼块，请分别用不同的拼法将图和图中的正方形拼图补充完整．要求：所用的，，三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．,27．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一动点．将△ABE沿AE翻折后得到AFE，延长AF交CD所在直线于点G，设BE＝x．（1）若点G在CD边上，求x的取值范围；（2）若x＝5，求CG的长．28．（问题提出）小颖发现某座房屋的侧面是一种特殊的五边形，她决定好好研究一下它的特点，并计算它的面积．（问题探究）定义：如图，我们把满足的五边形叫做屋形．其中叫做脊，叫做腰，叫做底．性质：边：屋形的腰相等，脊相等；角：①屋形腰与底的夹角相等；②脊与腰的夹角相等；对角线：①②屋形有两组对角线分别相等，且其中一组互相平分．对称性：屋形是以底的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；,（1）请直接填写屋形对角线的性质①；（2）请你根据定义证明“屋形的脊与腰的夹角相等”；己知：如图，五边形是屋形．求证：证明：（问题解决）（3）如图，在屋形中，若，试求出屋形的面积．29．已知，如图，在等腰直角三角形中，，是的中点，点，分别是，上的动点，且始终满足，（1）证明：；（2）求的大小；（3）写出四边形的面积与三角形的面积的关系式，并说明理由．,30．在中，于点．（1）如图1，当点是线段的中点时，①的长为________；②延长至点，使得，此时与的数量关系是_______，与的数量关系是_______；（2）如图2，当点不是线段的中点时，画（点与点在直线的异侧），使，连接．①按要求补全图形；②求的长．,【答案与解析】1．C【解析】根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，∵DA=DF，DG=DG，∴Rt△ADG≌Rt△FDG，∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE=（∠ADF+∠CDF）=45°，∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，∴△BGE的周长=BG+BE+EC+AG=AB+AC，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.2．C【解析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形AECF形状的变化情况．解：连接BD．∵点O为矩形ABCD的对称中心，,∴BD经过点O，OD=OB，∵AD∥BC，∴∠FDO=∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF=BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．3．A【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；故选：A．本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质．4．A【解析】根据题意可得，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证，继而证明，解得，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得与,的关系，整理即可解题．是的中点，∴∠CAM=∠MCA，，故选：A．本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．C【解析】连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE的长，由三角形中位线定理可求FG的长；,连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt△CDE中EC=∵点F、G分别为BC、BE的中点,∴FG是△CBE的中位线，FG=CE=故选：C本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC的长度是解题的关键.6．D【解析】四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线，B、D选项CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D选项．解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，,∴，当CP为AB的中线时，，若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°，∴∠A+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，∵BC≠AC，∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；当CP为AB的高线时，,即，解得,故D选项正确，C选项错误．故选：D．本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．7．A【解析】延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，先计算出RG=6，∠ARG=，AR=2，根据勾股定理求出，得到HG=，利用,，求出，即可利用勾股定理求出NG、EH．如图，延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，∵矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=，AR=AR-CE=4-2=2，∴，∵H是AG中点，∴HG=，∵，∴，∴，在Rt△ENG中，，∴，∴，故选：A．此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．8．D【解析】只要证明得出是等边三角形，因为的周长，所以等边三角形的边长最小时，,的周长最小，只要求出的边长最小值即可．解：连接，菱形中，，与是等边三角形，，，，，在和中，，，，，，，是等边三角形，的周长，等边三角形的边长最小时，的周长最小，当时，最小，的周长最小值为，故选：．本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．9．12【解析】连接BD，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD的长，根据两平行线的距离相等，所以,△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．如图，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3，∵AB＝5，由勾股定理得：OB=，∴BD=2OB=8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB和△ECD的面积和=×＝××AC×BD=．故答案为：12．本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离是解题的关键．10．【解析】由“ASA”可证△ABQ≌△DAP，可得AP＝BQ，列出方程可求t的值．∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠B＝∠BAD＝90°∵AQ⊥DP∴∠QAD＋∠ADP＝90°，且∠DAQ＋∠BAQ＝90°，∴∠BAQ＝∠ADP，且∠B＝∠BAD＝90°，AD＝AB,∴△ABQ≌△DAP（ASA）∴AP＝BQ∴2t＝8−t∴t＝，故答案为：．本题考查了全等三角形判定和性质，正方形的性质，一元一次方程的应用，证明△ABQ≌△DAP是本题的关键．11．10【解析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC=4，BD=3，即可求得其边长，继而求得答案．解：如图，∵菱形ABCD中，AC=4，BD=3，∴OA=AC=2，OB=BD=，AC⊥BD，∴，∴它的周长为：×4=10．故答案为：10．此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意根据勾股定理求得其边长是解此题的关键．12．10【解析】连接对角线BD，交AC于点O，证四边形BDEG是平行四边形，得EG＝BD，利用勾股定理求出OD的长，BD＝2OD，即可求出EG．解：连接BD，交AC于点O，如图：,∵菱形ABCD的边长为13cm，∴AB//CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13cm，∵点E、F分别是边CD、BC的中点，∴EF//BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24cm，∴AC⊥BD，AO＝CO＝＝12cm，OB＝OD，又∵AB//CD，EF//BD，∴DE//BG，BD//EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13cm，CO＝12cm，∴OB＝OD＝cm，∴BD＝2OD＝10cm，∴EG＝BD＝10cm；故答案为：10．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．13．【解析】如详解中图，先作出△CDE；再由折叠性质得到CE=CA=10，DE=DA=8-m，利用勾股定理计算出OE=6，则EB=4．在Rt△DBE中利用勾股定理得到（8-m）2=m2+42．然后解方程求出m即可得到点D的坐标．解：如图，作△CDE．,     设DB=m．由题意可得，OB=CA=10，OC=AB=8，∵△CED与△CAD关于直线CD对称，∴CE=CA=10，DE=DA=8-m，在Rt△COE中，OE==6，∴EB=10-6=4．在Rt△DBE中，∠DBE=90°，∴DE2=DB2+EB2．即（8-m）2=m2+42．解得m=3，∴点D的坐标是（10，3）．故答案为（10，3）．本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．14．5或【解析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，,∴AM=AB-BM=14-x，又折叠图形可得AD=AD′=10，∴x2+（14-x）2=100，解得x=6或8，即MD′=6或8．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=6时，AM=14-6=8，D′N=10-6=4，EN=8-a，∴a2=42+（8-a）2，解得a=5，即DE=5，②当MD′=8时，AM=14-8=6，D′N=10-8=2，EN=6-a，∴a2=22+（6-a）2，解得，即.故答案为：5或.本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．15．【解析】连接FE，根据题意得CD=2，AE=，设BF=x，则FG=x，CF=2-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=（-2）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=（2-x）2+12，从而得到关于x方程，求解x即可．解：连接EF，如图，∵E是CD的中点，且CE=1∴CD=2，DE=1∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2∴AE=,设BF=x，由折叠得，AG=AB=2，FG=BF=x，∴GE=AE-AG=，在Rt△GFE中，在Rt△CFE中，CF=BC-BF=2-x，CE=1∴∴解得：，即BF=,故答案为：本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．16．【解析】连接CM，由题意易证，即得到PC=DC=3．设AN=x，则PN=x，BN=3-x，CN=3+x．在中利用勾股定理即可求出x，即可得到CN的长．如图，连接CM，由题意可知，在和中，，∴，∴PC=DC=3．设AN=x，则PN=x，BN=3-x，CN=3+x．在中，，即，解得：，∴CN=3+．,故答案为：．本题考查翻折的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．17．（1）见解析；（2）等边三角形，理由见解析【解析】（1）由菱形边长与对角线都是2，知和都是等边三角形．可得，，可证；（2）由，得，，利用．可证为等边三角形．（1）证明：∵菱形的边长为2，，∴和都是等边三角形．∴，，∵，而，∴，∴；（2）解：为等边三角形．理由如下：∵，∴，，∵°，∴．即．∴为等边三角形．本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质是解题解题关键．18．见解析【解析】,利用ASA证明△ADE≌△CDF即可得到结论．证明：四边形是正方形，，，又，．．在与中，，．．此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键．19．（1）见解析；（2）GE=BE+GD，理由见解析【解析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF；（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDA，∴∠B=∠CDF，在△CBE与△CDF中，，∴△CBE≌△CDF（SAS），∴CE=CF；（2）GE=BE+GD，理由：由（1）得△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，CE=CF．∵∠GCE=45°，,∴∠BCE+∠DCG=45°，∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，在△ECG与△FCG中，，∴△ECG≌△FCG（SAS），∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质，证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等，在第二问中也考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而得出线段GE，BE，GD之间的数量关系．20．（1）；（2）；证明见解析；（3）【解析】（1）由题意可得OC=OB，OC⊥OB，再根据勾股定理即可得到答案；（2）连接，，证明，即可得出答案；（3）根据题意可推出为等边三角形，可得，再根据，可得，继而可求出．解：（1）∵点是正方形的两条对角线的交点，以点为直角顶点的直角三角形的两边，分别过点，C，∴OC=OB，OC⊥OB，∵BC=2，∴，∴，∴，解得OC=，故答案为：；（2），证明过程如下：如图，连接，，,∵点是正方形的旋转中心，∴，，∵，∴，由旋转的性质，可得，在和中，，∴，∴；（3）如图，连接、，∵，，∴，∵在中，，∴，∴为等边三角形，∴，又∵，∴，∴．,本题考查等边三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．21．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析；③见解析【解析】（1）根据平移的性质和平行四边形的判定解答即可；（2）①根据菱形的判定解答即可；②根据矩形的判定解答即可；③根据正方形的判定解答即可．解：（1）证明：∵沿线段向右平移得到∴，，又∵∴又∵∴四边形是平行四边形（2）①∵，∴由（1）知四边形是平行四边形∴四边形是菱形②∵，∴，由（1）知四边形是平行四边形∴四边形是矩形③∵，∴又∵，∴，由（1）知四边形是平行四边形∴四边形是正方形此题考查四边形综合题，关键是根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定解答．22．（1）见解析；（2）四边形AGCH是菱形，见解析,【解析】（1）利用SAS证明△AOE≌△COF即可得到结论；（2）四边形AGCH是菱形．根据△AOE≌△COF得∠EAO=∠FCO，推出AG∥CH，证得四边形AGCH是平行四边形，再根据AD∥BC，AC平分，得到，证得GA=GC，即可得到结论．证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，，，，，即，又，，．（2）四边形AGCH是菱形．理由：，，，四边形ABCD是平行四边形，，四边形AGCH是平行四边形，，，AC平分，，∴，，平行四边形AGCH是菱形．此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等角对等边证明边相等，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．23．（1）见解析；（2）120°【解析】,（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求证；（2）根据补角定义和直角三角形性质可得∠MDA+∠MCB=120°，∠MDB+∠MCA=60°，再由等边三角形的性质得到∠BDC+∠ACD=60°，最后由对顶角相等和三角形内角和定理可得∠AOB=120°．（1）证明：由已知可得：∴MC=MD；（2）∵△MCD是等边三角形，∴∠DMC=60°,∴∠AMD+∠BMC=180°-60°=120°，与（1）同理有：MA=MD，MC=MB，∴∠MAD=∠MDA，∠MCB=∠MBC，∴2（∠MDA+∠MCB）=360°-（∠AMD+∠BMC）=360°-120°=240°，∴∠MDA+∠MCB=120°，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠MDB+∠MCA=（∠ADB+∠BCA）-（∠MDA+∠MCB）=180°-120°=60°，∴∠BDC+∠ACD=(∠MDC+∠MCD)-(∠MDB+∠MCA)=120°-60°=60°，∴∠AOB=∠DOC=180°-(∠BDC+∠ACD)=180°-60°=120°．本题考查等边三角形和直角三角形的综合应用，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质、补角定义、三角形内角和定理是解题关键．24．（1）；（2）①，见解析；②【解析】（1）设AB与DE相交于点F，根据旋转的性质可得，，根据三线合一可得，，即可得到，通过证明≌可得，利用菱形的判定与性质即可求解；（2）①根据题意补全图形，作于，通过证明可得，利用线段垂直平分线的判定与性质即可得出结论；②在中，，由①可知，，即可得出结论．解：（1）设AB与DE相交于点F，,，∵线段顺时针旋转，得到线段，∴，，∵，根据三线合一可得，，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∴四边形ADBE是平行四边形，又∵，∴四边形ADBE是菱形，∴．（2）依题意补全图形①．如图，作于．,，，．在与中，．．在中，，，．．垂直平分．．②在中，，由①可知，，∴．本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等，灵活运用上述性质定理是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）四边形ACDE是平行四边形，证明见解析．【解析】（1）由AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，可得∠DAE=90°，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC,的一条角平分线，可得AD⊥BC，所以∠ADB=90°，又由BE⊥AN，可得∠BEA=90°，即可证得四边形ADBE为矩形；（2）利用（1）中四边形ADBE是矩形，得到AE∥BD，AE=BD，又根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD，从而可得AE=CD，由此即可判定四边形ACDE是平行四边形．（1）证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，∴∠BAD=∠BAC，∠BAN=∠BAM，∴∠DAE=∠BAD+∠BAN=（∠BAC+∠BAM）=×180°=90°，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，又∵BE⊥AN，∴∠BEA=90°，∴四边形ADBE是矩形．（2）四边形ACDE是平行四边形．证明：∵四边形ADBE是矩形，∴AE∥BD，AE=BD．∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，∴AE∥CD，AE=CD，∴四边形ACDE是平行四边形．此题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义以及平行四边形的判定．解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质、等腰三角形的三线合一以及平行四边形的判定．26．（1）；（2）补图见解析．【解析】(1)根据题意，知A的拼块的面积为3个单位，B的面积为3个单位，C的面积为4个单位，即可得出；(2)图1用了3个A，2个B，1个C，图2用了4个A，1个B，1个C，和(1)不同即可．（1），∴正方形的面积为25；,（2）答案不唯一，如：本题主要考查了正方形的面积组合，读懂题意是解题的关键．27．（1）；（2）CG的长为．【解析】（1）分别求得当点G与点C重合和点G与点D重合时的值，即可得到x的取值范围；（2）连接GE，在和以及中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．（1）设BE，当点G与点C重合时，在中，，由折叠的性质，得△ABE△AFE，∴AF=AB=6，BE=FE，在中，∠CFE=90，CF，CE=8-，∴，即，解得：；当点G与点D重合时，,同理，AF=AB=6，BE=FE，∠BQF=∠B=∠AFE=90，∴四边形ABEF为矩形，∴BE=AB=6，即，∴点G在CD边上时，的取值范围为：；（2）由（1）知，当时点G在CD边上，连接EG，∴当时点G在CD边上，且点G不与C、D两点不重合，设DG=，由折叠的性质，得△ABE△AFE，∴AF=AB=6，BE=FE，在中，∠D=90，AD，DG=，∴，∴，在中，，在中，，∴，即，∴，∴．,本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．28．（1）屋形有一条对角线与底平行且相等；（2）见解析；（3）60【解析】（1）根据屋形的特点可得结论；（2）连接，证明四边形为平行四边形，再根据得出结论；（3）连接，过作，先利用勾股定理得出AH的值，再利用三角形和矩形的面积公式求解即可．解：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等（2）求证：屋形的脊与腰夹角相等证明：连接，，，，又，四边形为平行四边形，∵，∴，．【问题解决】连接，过作，，,，，，，∴BE=2BH=6，，，，屋形的面积为．本题考查了平行四边形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．29．（1）见解析；（2）；（3），理由见解析．【解析】（1）连接，证明即可得到结论；（2）根据，得到，即可推出结论；（3）由，得到，利用得到结论．解：（1）证明：连接，如图所示：∵等腰直角三角形中，，是的中点，∴，，在和中，,，∴，∴；（2），∴，∴，即；（3）结论：∵，∴，∴，即．此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据题意选择恰当的证明方法是解题的关键．30．（1）①；②CE=CB；∠BCE=2∠A；（2）①补全的图形见解析；②．【解析】（1）①由D是BC的中点及CD⊥AB，根据勾股定理即可求解；②证明△ADC≌△BDC，继而得到,BC=CE，根据∠BCE=∠CAB+∠CBA，∠CAB=∠CBA，即可得到∠BCE=2∠A；（2）①根据题干补全图形即可；②作∠ACM=∠BCE，在射线CM上截取CF=CA，连接BF、AF，过点C作CG⊥AF于点G，利用已知条件先证△ACE≌△FCB，得到AE=BF，然后再证四边形ADCG是矩形，可求得AG=CD=2AF，Rt△BAF中，利用勾股定理即可求出BF，继而可得AE的长．解：（1）①∵D是BC的中点，CD⊥AB，∴AD=BD=，∠ADC=∠BDC=90°，∴在Rt△ADC中，可得：；②如图，延长AC至点E，使CE=AC，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC，∴AC=BC，又∵AC=CE，∴CB=CE，∵∠BCE=∠CAB+∠CBA，∠CAB=∠CBA，∴∠BCE=∠CAB+∠CAB=2∠CAB，即∠BCE=2∠A；（2）①补全的图形见下图：,②如图，作∠ACM=∠BCE，在射线CM上截取CF=CA，连接BF、AF，过点C作CG⊥AF于点G，∴∠ACM+∠FCE=∠BCE+∠FCE，即∠ACE=∠FCB，∵CE=CB，∴△ACE≌△FCB，∴AE=BF，又∵CG⊥AF，∴∠CGF=90°，∵CF=CA，∴∠ACF=2∠ACG，AF=2AG，又∵∠BCE=2∠BAC，∠ACF=∠BCE，∴∠ACG=∠BAC，∴CG∥AD，,∴∠AGC=∠BAF=∠ADC=90°，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=CD=，∴AF=，在Rt△BAF中，∠BAF=90°，AB=，AF=，∴又∵AE=BF，∴AE=，即AE的长为．本题考查全等三角形、等腰三角形、矩形的判定和性质、勾股定理及尺规作图，解题的关键是综合运用这些知识．