要点梳理考点讲练课堂小结课后作业小结与复习第8章整式乘法与因式分解 要点梳理一、幂的乘法运算1.同底数幂的乘法：底数________,指数______.aman·=_______am+n不变相加2.幂的乘方：底数________,指数______.不变相乘am()n=____________amn3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.乘方相乘abn()=____________anbn (1)将_____________相乘作为积的系数；二、整式的乘法1.单项式乘单项式：单项式的系数(2)相同字母的因式，利用_________的乘法，作为积的一个因式；同底数幂(3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式；指数注：单项式乘单项式，积为________.单项式 (1)单项式分别______多项式的每一项；2.单项式乘多项式：(2)将所得的积________.注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数________.乘以相加相同3.多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，再把所得的积________.每一项相加实质是转化为单项式乘单项式的运算 三、整式的除法同底数幂相除，底数_______,指数_________.1.同底数幂的除法：aman÷=_______am-n不变相减任何不等于0的数的0次幂都等于________.11=amam÷=_______a0 2.单项式除以单项式：单项式相除,把_______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的_______一起作为商的一个因式.系数同底数的幂指数3.多项式除以单项式：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个，再把所得的商.单项式每一项相加 四、乘法公式1.平方差公式两数______与这两数______的积,等于这两数的______.和差平方和(a+b)(a-b)=_________a2b2-2.完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______，加上（或减去）它们的______的2倍.平方和积(a+b)2=______________a2b22ab++ 五、因式分解把一个多项式化为几个________的________的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.1.因式分解的定定义整式乘积2.因式分解的方法(1)提公因式法(2)公式法①平方差公式：__________________②完全平方公式：_______________________a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2步骤：1.提公因式；2.套用公式；3.检查分解是否彻底； 考点讲练考点一幂的运算例1下列计算正确的是()A．(a2)3＝a5B．2a－a＝2C．(2a)2＝4aD．a·a3＝a4D例2计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4.解析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.解：原式=8a3b6÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2. 幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.归纳总结 针对训练1.下列计算不正确的是（）A.2a3÷a=2a2B.(-a3)2=a6C.a4·a3=a7D.a2·a4=a82.计算：0.252015×（-4）2015-8100×0.5301.D解：原式=[0.25×（-4）]2015-（23）100×0.5300×0.5=-1-（2×0.5）300×0.5=-1-0.5=-1.5； 3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值.(2)比较大小：420与1510.(2)∵420=（42）10=1610，∵1610>1510,∴420>1510.32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9.解：(1)∵3m=6,9n=2,∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 考点二整式的运算例3计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y,其中x=1,y=3.解析：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y=(2x3y2-2x2y)÷3x2y当x=1,y=3时，原式= 整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.归纳总结 针对训练4.一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为；5.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项式是.a-2b+1 6.计算：(1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4)．(2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1)(3)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；(4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；(5)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y；解：（1）原式＝－12x7y9（2）原式＝－x3＋6x（3）原式＝2a3b2＋10a3b3（4）原式＝4x2＋17xy－10y2（5）原式＝2xy－2 考点三乘法公式的运用例4先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=3,y=1.5.解析：运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.原式=3-1.5=1.5.解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x=(2x2-2xy)÷2x=x-y.当x=3,y=1.5时， 归纳总结整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度. 7．下列计算中，正确的是()A．(a＋b)2＝a2－2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－b2C．(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2D．(a＋b)(－a－b)＝a2－b28．已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为()A．±6B．±12C．±18D．±729．若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝________．针对训练CB38 10．计算：(1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；(2)(a＋b－3)(a－b＋3)；(3)(3x－2y)2(3x＋2y)2.解：(1)原式＝(x＋2y)(x－2y)(x2－4y2)(2)原式＝[a＋(b－3)][(a－(b-3)]=(x2－4y2)2=x4－8x2y2＋16y4；=a2－(b－3)2=a2－b2＋6b－9.(3)原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2=(9x2－4y2)2=81x4－72x2y2＋16y4 11.用简便方法计算(1)2002－400×199＋1992；(2)999×1001.解：(1)原式＝(200－199)2=1;(2)原式＝(1000－1)(1000+1)＝999999.＝10002－1 考点四因式分解及应用例5下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是()A．a(x－y)＝ax－ayB．x2－1＝(x＋1)(x－1)C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B点拨：(1)多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；(2)判断过程要从左到右保持恒等变形. 例6把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是()A．2(x2－8)B．2(x－2)2C．2(x＋2)(x－2)D．2x(x－)C因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.归纳总结 针对训练12.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是________．13.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝________．14.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为________．15.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则m＝________．(xy－1)2209－6或0 16.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是________.baaaabbbbba-ba2-b2=(a+b)(a-b). 17．把下列各式因式分解：(1)2m(a－b)－3n(b－a)；(2)16x2－64；(3)－4a2＋24a－36.解：(1)原式＝(a－b)(2m＋3n)．(2)原式＝16(x＋2)(x－2)(3)原式＝－4(a－3)2 课堂小结幂的运算性质整式的乘法整式的除法互逆运算乘法公式（平方差、完全平方公式）特殊形式相反变形因式分解（提公因式、公式法）相反变形