第19章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题为真命题的是(　　)A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形是正方形2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于(　　)A．20B．15C．10D．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　)A.B.C.D.4．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A，则此反比例函数的表达式为(　　)A．y＝(x>0)B．y＝－(x>0)C．y＝－(x>0)D．y＝(x>0)5．如图，在正方形ABCD的内部，作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为(　　)A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为(　　)A．4B．3C．4.5D．57．如图，把一张矩形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为(　　)A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°11 8．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(　　)A．28°B．52°C．62°D．72°9．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，E，F分别是边AB，BC的中点，则EP＋PF的最小值是(　　)A.B.1C.D．210．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每题3分，共30分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________时，两条对角线长度相等．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为________．15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，11 沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022s时，点P的坐标为________．16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连结DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为________．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AD上一点，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，点Q是CD上一点，将△BCQ沿BQ折叠，点C恰好落在直线BF上的点P处．若∠BQE＝45°，则AE＝________．19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为____________．20．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形AnBnCnCn－1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，An均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…，Cn均在x轴上．若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点An的坐标为________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.11 22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若AB＝2，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．23．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．11 24．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．25．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)过点C作CG∥EA交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE＝30°，∠BCD＝130°，求∠11 AHC的度数．26．如图，在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连结BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．11 答案一、1．A　2．B　3．B4．D　点拨：∵菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，∴点A的坐标为(3，2)，∴＝2，解得k＝6，∴y＝(x>0)．故选D.5．D6．A　点拨：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC－BF＝9－BF.在Rt△C′BF中，BF2＋BC′2＝C′F2，∴BF2＋9＝(9－BF)2，解得BF＝4，故选A.7．D　点拨：画出所剪的图形示意图如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.8．C　9．B10．D　点拨：∵四边形ABCD是正方形，∴∠PAE＝∠MAE＝45°.∵PM⊥AC，∴∠PEA＝∠MEA＝90°.又∵AE＝AE，∴△APE≌△AME，故①正确；由①得PE＝ME，∴PM＝2PE.同理得PN＝2PF，又易知PF＝BF，四边形PEOF是矩形，∴PN＝2BF，PM＝2FO，∴PM＋PN＝2FO＋2BF＝2BO＝BD，故②正确；在Rt△PFO中，∵FO2＋PF2＝PO2，而PE＝FO，∴PE2＋PF2＝PO2，故③正确．二、11．90°　点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．12．30　13．2.514．13　点拨：∵四边形ABCD是正方形，11 ∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°.又∵∠FAB＋∠FBA＝∠FAB＋∠EAD，∴∠FBA＝∠EAD.∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°.在△AFB和△DEA中，∵∠AFB＝∠DEA，∠FBA＝∠EAD，AB＝DA，∴△AFB≌△DEA(A.A.S.)．∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5.∴EF＝AF＋AE＝DE＋BF＝8＋5＝13.15．16．16　点拨：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°.又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，以BD，DE为邻边构造矩形，由矩形对角线的性质可知，BF＝DF＝EF＝4，∴CF＝4－BC＝4－y.在Rt△DCF中，DC2＋CF2＝DF2，即x2＋(4－y)2＝42＝16.∴x2＋(y－4)2＝16.17．6　点拨：连结DE交AC于点Q′.∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，Q′是使△BEQ的周长为最小值时的点．由勾股定理得DE＝＝＝5，∴△BEQ的周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.18．2　点拨：由折叠知∠EBQ＝∠ABC＝45°.∵∠BQE＝45°，∴∠BEQ＝90°，BE＝EQ.易证△BAE≌△EDQ，∴ED＝AB＝4，∴AE＝AD－ED＝6－4＝2.19．2.4　点拨：连结AP，在△ABC中，∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP.∵M是EF的中点，∴AM＝AP.根据直线外一点与直线上任意一点所连的线段中，垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短．当AP⊥BC时，AB·AC＝BC·AP，即×6×8＝×10×AP，∴AP＝4.8.∴AM的最小值为×4.8＝2.4.20．(2n－1－1，2n－1)　点拨：本题运用从特殊到一般的思想，由题意，得点A1(0，1)，A2(1，2)，A3(3，4)，A4(7，8)，…，根据以上总结规律，可得An(2n－1－1，2n－1)．三、21．证明：连结DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.11 又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.22．(1)证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形．(2)解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，∴∠ABC＝180°－120°＝60°.∵AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴OA＝×2＝1.在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴由勾股定理得OB＝.∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB＝，∴四边形AODE的面积＝OA·OD＝.23．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC＝CB，∠D＝∠B＝90°.∵E，F分别为DC，BC的中点，∴DE＝DC，BF＝BC.∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF(S.A.S.)．(2)解：由题意知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝CE＝CF＝×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－×4×2－×4×2－×2×2＝6.24．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.由折叠可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°，AB＝AF.11 ∴∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，∵E为CD的中点，∴EF＝DE＝CE＝3，∴EG＝x＋3，在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，∴BG＝2.25．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.又∵E，F分别是BC，CD的中点，∴BE＝DF.在△ABE和△ADF中，∵AB＝AD，∠B＝∠D，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(S.A.S.)．(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝130°，∴∠BAD＝∠BCD＝130°.由(1)得△ABE≌△ADF，∴∠DAF＝∠BAE＝30°.∴∠EAH＝∠BAD－∠BAE－∠DAF＝130°－30°－30°＝70°.∵AE∥CG，∴∠EAH＋∠AHC＝180°.∴∠AHC＝180°－∠EAH＝180°－70°＝110°.26．解：(1)如图①.11 (2)如图②，连结AE，∵点E是点B关于直线AP的对称点，∴∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝AB＝AD，∠BAD＝90°.∴∠AED＝∠ADE，∠EAD＝∠DAB＋∠BAP＋∠PAE＝130°.∴∠ADF＝＝25°.(3)EF2＋FD2＝2AB2.证明如下：如图③，连结AE，BF，BD，由轴对称和正方形的性质可得，EF＝BF，AE＝AB＝AD，易得∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∵∠BAD＝90°，∴∠ABF＋∠FBD＋∠ADB＝90°.∴∠ADF＋∠ADB＋∠FBD＝90°.∴∠BFD＝90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得BF2＋FD2＝BD2.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝2AB2，∴EF2＋FD2＝2AB2.11