18.1平行四边形第18章平行四边形第3课时平行四边形的性质定理3 学习目标1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路.（难点） 问题：上节课我们学习了平行四边形的哪些性质？平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等.思考：平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？这节课我们一起探讨一下吧.复习引入导入新课平行四边形的邻角互补. 讲授新课平行四边形的对角线的性质一我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢?ABCDO如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.OA与OC,OB与OD有什么关系?猜一猜OA=OC,OB=OD怎样证明这个猜想呢？ 已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：OA=OC，OB=OD.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC,∴∠1=∠2，∠3=∠4,∴△AOD≌△COB（ASA）,∴OA=OC，OB=OD.ACDBO3241证一证 ACDBO平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质定理3应用格式：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.归纳总结 例1如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD,∴OE＝OF.在△OFD和△OEB中，OF＝OE，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF. 例2如图，ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.ABCDFEO证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,∴△DOF≌△BOE（AAS）,∴AB∥CD,OD=OB,∴OE=OF.思考改变直线EF的位置，OE=OF还成立吗? ●ODCBAEF●ODCBAEF(1)(2)议一议：在上述问题中，若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F，（如图2），上述结论是否仍然成立？试说明理由．●●●● 议一议：在上述问题中，若将直线EF绕点O旋转至下图(3)、(4)的位置时，上述结论是否仍然成立？FEF●ODCBAE(1)●ODCBAEF(3)(3)(4)●ODCBAEF(4)●●●●再变一变 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．归纳总结 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（　　）A.26B.34C.40D.52练一练B 2.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（　　）A.9B.18C.27D.36B 1.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）A．∠ABO=∠CDOB．∠BAD=∠BCDC．AO=COD．AC⊥BDBCDAOD当堂练习 2.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m,则m的取值范围是()A.24<m<39B.14<m<62C.7<m<31D.7<m<12BCDAOC 3.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是. 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长.810BCDAO解：∴△ABC是直角三角形.又∵AC⊥BC∴BC=AD=8，CD=AB=10又∵OA=OC∴∴？？？∵四边形ABCD是平行四边形. 5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF.求证:BE=DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,∴OB=OD,OA=OC.∵E,F分别是OA,OC的中点,ABCDOEF 课堂小结平行四边形对角线的性质平行四边形对角线互相平分过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.