19.1.2矩形的判定学习目标：1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达.2.能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.【课前预习案】一、旧知回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分2、矩形是轴对称图形，它有条对称轴。3、平行四边形的判定有哪些？分别从边、角、对角线几个方面考虑。【课内合作探究案】A类探究点问题1：回顾矩形的定义和性质答案：（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的性质：角：矩形的四个角都是直角对角线：矩形对角线相等问题2：仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？答案：1、定义可以作为判定2、四个角都是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等四边形关于2和3你能写出证明过程吗四个角都是直角的四边形如图，在四边形ABCD中，因为,所以AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）有三个角是直角的四边形是矩形吗？说明理由。答案：是。有三个角是直角说明第四个角也是直角，根据上面探究的结论即可确定这个四边形为矩形。归纳总结：三（四）个角都是直角的四边形是矩形B类探究点4 对角线相等的平行四边形是矩形问题：你能将上述命题转化为符号语言吗？并写出证明过程。答案：能。已知：如图，在□ABCD中，若AC=DB，则□ABCD是矩形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，又∵AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB.又∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=，∴∠ABC=，∴□ABCD是矩形.问题：对角线相等的四边形一定是矩形吗？如果不一定，对角线还需要满足什么条件？答案：不一定是，还需要满足对角线互相平分，即对角线相等且互相平分的四边形是矩形.归纳总结：矩形的判定方法有：（1）定义法.（2）三个角都是直角的四边形是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线相等且互相平分的四边形是矩形.例4.如图,O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点,E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证。证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=BD（矩形的对角线相等）AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）∵AE=BF=CG=DH,∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵EO+OG=OF+OH,即EG=FH,∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.归纳总结：1.知识网络矩形的判定角：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形4 （2）四个角都是直角的四边形是矩形对角线：（1）对角线相等的平行四边形是矩形（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形2.思想方法：本节主要学习了矩形几种判定方法，在使用各种判定方法时，一定要注意看清楚给出的是平行四边形还是四边形。主要数学思想：类比，转化思想。【训练案】A类训练题1.下列说法正确的是（）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形2.满足下列条件（）的四边形是矩形A.有三个角相等B.有一个角是直角C.对角线相等且互相垂直D.对角线相等且互相平分3.矩形各角平分线围成的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4.下列判定矩形的说法是否正确（1）有一个角是直角的四边形是矩形（）（2）四个角都是直角的四边形是矩形（）（3）四个角都相等的四边形是矩形（）（4）对角线相等的四边形是矩形（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（）（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）B类训练题1.已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。答案：四边形ACBE是矩形.因为CD是Rt△ACB斜边上的中线，所以DA=DC=DB,又因为DE=CD，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。4 4