小结与复习第四章三角形 要点梳理一.三角形的有关性质1.不在同一直线上的三条线段首尾_________所组成的图形叫作三角形.以点A，B，C为定点的三角形记为______，读作“三角形ABC”.顺次相接△ABC2.三角形三个内角的和等于______.180° 锐角三角形直角三角形钝角三角形按角分按边分不等边三角形等腰三角形5.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边.3.三角形的分类4.直角三角形的两个锐角互余. 6.三角形的三条角平分线交于一点；三角形三条中线交于一点；三角形的三条高所在的直线交于一点.二.全等三角形1.全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等3.三角形的稳定性的依据：SSS2.全等三角形的判定ASASSSSASAAS 考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8－3<a<8+3,所以5<a<11.又因为第三边长为奇数,所以第三条边长为7cm或9cm.考点讲练【分析】根据三角形的三边关系满足8－3<a<8+3解答即可. 1.已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是．24【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.针对训练 考点二三角形的内角和例2如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－∠A=∠C-∠B，则∠B=.90°针对训练 考点三三角形的角平分线、中线、高例3如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．解析：因为点D是AC的中点，所以AD＝AC，因为S△ABC＝12，所以S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.因为EC＝2BE，S△ABC＝12，所以S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.2 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．方法归纳 3.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是，∠FBC的度数是.4.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是.ABCEFABCDEO20°40°84°针对训练 例4已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），解：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．考点四全等三角形的判定与性质 例5如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,试说明：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【分析】欲证∠DEC=∠FEC由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE只需要证明△DEG≌△DCG. ABCDFEG解：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE≌△AGC(ASA)，∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC. 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结 5.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EFB.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠DD.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD针对训练 考点五本章中的思想方法方程思想例6如图，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度数.ABCD))))2413解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x.因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以∠1=36°. 在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.方法总结 分类讨论思想例7已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是．解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.26或22 化归思想ABCDO如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图. 性质判定：SAS、ASA、AAS、SSS三角形高、角平分线、中线性质等腰（等边）三角形的性质与判定全等三角形用尺规作三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边内角和为180°课堂小结 课后作业见章末练习