19.2平行四边形第19章平行四边形第3课时平行四边形边的判定 情境引入学习目标1.平行四边形判定方法的探究.（重点）2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用.（难点） 平行四边形的性质边平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等角平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的对角线互相平分对称性平行四边形是中心对称图形对角线导入新课知识回顾 导入新课学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢?大家都困惑了…… 活动1：将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形.ABCD猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理1一讲授新课 连接AC.∵AB//CD,∴∠1=∠2.又AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△BCA.∴AD∥BC.∴四边形ABCD的两组对边分别平行，它是平行四边形.DABC已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：12 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理1BDCA总结归纳 例1如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．证明：∵在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线.∴∠B=∠D,AB=CD,∠BAE=∠DCF=∠DAB=∠BCD.∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=DF∴AF=CE.∵AF∥CE,∴四边形AFCE是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？7cm4cm3cm3cm5cm4cm阅读思考 4cm4cm4cm4cm3cm3cm3cm3cm发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形. 活动2：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.20cm30cm猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判定定理2二 已知：四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD连接BD，在△ABD和△CDB中,AB=CDBD=DBAD=CB∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠1=∠3,∠2=∠4.∴AB∥CD,AD∥CB∴四边形ABCD是平行四边形.证明：1423 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理2BDCA总结归纳 例2如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE.求证：四边形AECF为平行四边形.BACDFE证明：可求得△ABE≌△CDF(SAS).∴AE=CF.又∵AF=CE,∴四边形ABCD是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？ACBOD平行四边形的判定定理3三合作探究猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形. ABCDO已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在△AOB和△COD中,OA=OC(已知)OB=OD(已知)∠AOB=∠COD(对顶角相等)∴△AOB≌△COD(SAS)∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.∴AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形.几何语言：平行四边形判定定理3总结归纳ABCDO 1.请你识别下列四边形哪些是平行四边形?⑷ADCB110°70°110°⑶⑴ABCDO5㎝5㎝4㎝4㎝4.8㎝BADC4.8㎝7.6㎝7.6㎝ABCD120°60°⑵5cm5cm70。练一练 2.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，对角线BD、AC于点O，并且OE=OF.求证：四边形BFDE是平行四边形DOABCEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO.∵EO=FO，∴四边形BFDE是平行四边形. 例3已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.OBACEFD证明：连接BD,在四边形ABCD中，AO=CO，BO=DO.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,∴EO=FO.又∵BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形） 例4填空：如图，在四边形ABCD中：（1）若AB//CD，补充条件，使四边形ABCD为平行四边形；（2）若AB=CD，补充条件，使四边形ABCD为平行四边形；（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，补充条件，使四边形ABCD为平行四边形.AD//BCAD=BCOD=5BODAC （4）如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，补充条件：,使得四边形BFDE是平行四边形.BODACEF证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO,BO=DO.∵AE=CF，∴AO-AE=CO-CF,即EO=OF.又BO=DO.∴四边形BFDE是平行四边形.AE=CF想想还有其他证法吗？ 思考：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？ABCD你能根据平行四边形的定义证明它们吗？ 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD又∵∠A=∠C，∠B=∠D,∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°,∴2∠A+2∠B=360°.即∠A+∠B=180°.∴AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形.同理得AB∥CD,证明：定义判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法?从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理1）从角考虑从对角线考虑平行四边形的判定方法两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3） 小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．ABCDOFE试一试解：有6个平行四边形，分别是：ABOF，ABCO，BCDO，CDEO，DEFO，EFAO． 1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（　　）A.1:2:3:4B.1:4:2:3C.1:2:2:1D.3:2:3:2D2.如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF=.AFBDCEP83.已知AD//BC，要使这个四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件.AD=BC或AB//CD当堂练习 4.已知：如图，E,F分别是平行四边形ABCD的边AD,BC的中点.求证：BE=DF.DFECBA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC.∵E,F分别是AD,BC的中点，∴ED=BF,即EDBF.∥﹦∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等). 5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．∴△ABE≌△FCE（AAS）.∴AE=EF，又∵BE=CE∴四边形ABFC是平行四边形．解：四边形ABFC是平行四边形.理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE.∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中， 1.现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次,焊接成一个含有45°角的平行四边形(不能有余料),请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.ABC能力提升 CABFED DCABE ABCFDE 2.电视剧《人民的名义》中有一位退休好干部叫陈岩石，他有一块平行四边形菜园地，夏季到来了，院子里瓜果飘香.有一天突然下起了暴雨，将菜园地的一部分冲垮，陈老的菜园地与邻居家的菜园地之间的界限看不清了，巧的是，刚好保留了顶点A和C.（1）如图，若你只有一把直尺和一个圆规，你能将图形补全吗？若能，请补全图形（不写作法，只保留作图痕迹），并证明四边形ABCD是平行四边形.ABC （2）若E是BC边上的一点，只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使得DF=BE,①作出满足题意的点F，简要说明作图过程.②依据你的作图，证明：DF=BE.ABC★EABCDOF 从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）从角考虑从对角线考虑平行四边形的判定方法两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）课堂小结