第19章矩形、菱形与正方形19.1矩形1.矩形的性质学习目标：1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的特殊性质，会用矩形的性质解决简单的问题.自主学习一、知识链接1.平行四边形的定义是什么？它有哪些性质？2．用四根木条做的平行四边形有稳定性吗？二、新知预习1.如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在桌面上轻轻地拉动点D，你会发现什么?问题1：无论∠D如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？问题2：当∠D为直角时，四边形ABCD变成了一个怎样的四边形？于是有矩形定义：有一个角是的平行四边形是矩形，矩形是特殊的.问题3.矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有什么特殊的性质？【对称性】：矩形既中心对称图形，又是图形；【边】：矩形的对边平行且相等；【角】：矩形的对角相等，且四个角都是；【对角线】：矩形的对角线且相互平分.合作探究一、探究过程探究点1：矩形的性质定理1,2问题1：如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°.求证：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B____∠D,∠C____∠A,AB____DC.∴∠B+∠C=_____°.又∵∠B=90°,∴∠C=____°. ∴∠B=∠C=∠D=∠A=_____°.问题2：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证：AC=DB.证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC____△DCB.∴AC____DB.【要点归纳】矩形的性质定理：1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，则∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB（延伸：OA=OB=OC=OD=AC=BD）.例1如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？【针对训练】1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长．分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求．探究点2：矩形的性质与其他知识的综合运用例2如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点E.试求BE的长．例3如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，BD＝15cm.求AC、AB的长．二、课堂小结矩行的性质定理1.矩形的四个角都是_______.2.矩形的对角线________.解题策略结合等腰（边）三角形、勾股定理等知识解题当堂检测1.矩形具有，而一般平行四边形不具有的性质是（） A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分2.如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，若AB=6，AD=8，则AC＝_____，OB=_____.3.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两对角线所夹锐角度数为.4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.5．已知：如图，E为矩形ABCD内一点，且EB=EC.求证：EA=ED.6.已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数． 参考答案自主学习一、知识链接1.解：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.性质：(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分.2.没有稳定性.二、新知预习1.解：问题1：四边形ABCD还是平行四边形.问题2：四边形ABCD变成了一个长方形，即矩形.直角平行四边形问题3：轴对称90°相等合作探究一、探究过程探究点1：问题1：==∥1809090问题2：=90≌=【要点归纳】直角相等【典例精析】例1解：∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形周长的和为86cm，∴AB＋BC＋CD＋DA＋2(OA＋OB＋OC＋OD)＝AB＋BC＋CD＋DA＋2(AC＋BD)＝86，又∵AC＝BD＝13，∴AB＋BC＋CD＋DA＝86－2(AC＋BD)＝86－4×13＝34(cm)，即矩形ABCD的周长等于34cm.【针对训练】1.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OA＝OB，又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2AB=2×4＝8(cm)．例2解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝＝5.又∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，∴BE＝＝＝2.4.例3解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝15.∴AO＝AC＝7.5.∵AE垂直平分BO，∴AB＝AO＝7.5.即AC的长为15cm，AB的长为7.5cm.二、课堂小结 1.直角2.相等当堂检测1.A2.1053.80°4.5.证明：在矩形ABCD中，AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.∴∠ABE=∠DCE.∴△ABE≌△DCE(SAS).∴EA=ED.6.解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AC=BD,AO=BO.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB为等边三角形，∠BAO=∠ABO=60°，AB=AO=BO.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，即△ABE为等腰直角三角形，∠BEA=45°，AB=BE.∴BO=BE.∴∠BOE=∠BEO.在△BOE中，∠OBE=90°-60°=30°，∴∠BEO=∠BOE=75°.∴∠AEO=∠BEO-∠BEA=75°-45°=30°.