第9章多边形9.1三角形9.1.2三角形的内角和与外角和学习目标：1．掌握三角形的内角和定理、直角三角形两锐角的关系、外角的性质及外角和；2．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°；3．能运用三角形的内角和定理进行简单的证明或计算．重点：三角形的内角和定理与外角的性质．难点：三角形的内角和定理的推导过程．自主学习一、知识链接1．三角形按角的分类，可以分为_________、_________、_______．2．画图说明什么是三角形的内角，什么是三角形的外角．3．分别用量角器量出下面三个三角形的内角度数，并填表：三角形形状每个内角的度数三个内角的和锐角三角形直角三角形钝角三角形二、新知预习1．在小学我们通过拼接、测量就已经知道三角形的内角和为，与其形状、大小____（填“有关”或“无关”）．2．直角三角形的两个锐角_______．3．三角形的一个外角等于_______的和，并且大于______________．4．三角形的外角和等于________．三、自学自测1．在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠C＝______．2．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=120°，∠A=80°，则∠B=_____．四、我的疑惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________________第8页共8页 合作探究一、要点探究探究点1：三角形的内角和定理及其证明活动：在纸上任意画一个三角形，将它的三个内角撕开拼合在一起，使它们共一个顶点．结论：三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个_____，这说明三角形的内角和为______．问题1：观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明．根据上面的操作思路，完成下面的证明过程．已知：△ABC如图所示．求证：∠A+∠B+∠C=180°．证法1：延长BC到D，过点C作CE∥BA，证法2：过点A作l∥BC，问题2：根据三角形的内角和，你能推导出直角三角形中两锐角之间的关系吗？要点归纳：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角，就能证明三角形的内角和定理；三角形的内角和为_______，直角三角形的两锐角_______．探究点2：三角形的外角的性质问题1：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACD有什么关系？问题2：如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两个内角(∠A和∠B)有什么关系？问题3：你能证明问题2中的结论吗？第8页共8页 要点归纳：三角形的外角等于______________________的和．典例精析例1如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数．例2如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．【变式题】如图，∠A=60°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数．（提示：延长BD与AC相交）方法总结：关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解．例3（1）如图①，试比较∠2、∠1的大小；（2）如图②，试比较∠3、∠2、∠1的大小．方法总结：三角形的外角______与它不相邻的任意一个内角（填“小于”“等于”或“大于”）．针对训练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：第8页共8页 探究点3：三角形的外角和想一想：∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得解法二：∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3=180°，解法三：如图，过点A作AM平行于BC．要点归纳：三角形的外角和等于_______°．探究点4：三角形内角和定理与外角性质的应用典例精析例5如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．方法总结：平行线、角平分线与三角形的内角和定理相结合时，找到相等的角是关键．二、课堂小结内角和三角形的内角和为180°；直角三角形的两个锐角互余．外角的性质与外角和1．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如∠ACD=∠A+∠B．2．三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角．如∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B．三角形的外角和等于360°．第8页共8页 当堂检测1．求下列各图中的x值．（1）（2）（3）（4）2．判断下列说法的对错.（对的打“√”，错误的打“×”）（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.（）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（）3．如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于（）A．26°B．63°C．37°D．60°第3题图第4题图4．如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=____．5．如图，∠B=45°，∠BAE=36°，∠BCE=20°，试求∠AEC的度数．6．如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．第8页共8页 参考答案自主学习一、知识链接1．锐角三角形直角三角形钝角三角形2．解：略。3．填表略.二、新知预习1．180°无关2．互余3．与它不相邻的两个内角任何一个与它不相邻的内角4．360°三、自学自测1．180°2．40°一、要点探究探究点1：三角形的内角和定理及其证明结论：平角180°问题1：证明：因为CE∥BA，所以∠A=∠ACE，∠B=∠ECD.又因为∠ACE+∠ECD+∠ACB=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.证法2：证明：因为l∥BC，所以∠1=∠B,∠2=∠C.又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.问题2：要点归纳：180°互余探究点2：三角形的外角的性质问题1：∠ACB=180°-∠BCD.问题2：∠BCD=∠A+∠B.问题3：证明：因为∠ACB+∠BCD=∠ACD，而∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠BCD=∠A+∠B.要点归纳：与它不相邻的两个内角典例精析例1解：因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,而∠A=42°，所以∠ABC+∠ACB=180°-42°=138°.又因为∠ABC=∠ABD+∠CBD,∠ACB=∠ACE+∠BCF,所以∠CBD+BCF=∠ABC+∠ACB-∠ABD-∠ACE=138°-28°-18°=92°.在△BFC中，∠FBC+∠BFC+∠FCB=180°，所以∠BFC=180°-92°=88°.【变式题】解：因为∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,∠BPC＝150°,所以∠PBC+∠PCB=180°—∠BPC=30°.又因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,所以∠A+∠ABP+∠PBC+∠ACP+∠PCB=180°,所以∠A=180°-∠ABP-∠PBC-∠ACP-∠PCB=180°-20°-30°-30°=100°.第8页共8页 【例2】解：延长BD交AC于H，∠BDC=∠DHC+∠C，∠DHC=∠A+∠B∴∠BDC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°．例3．解：（1）∵∠2=∠1+∠B，∴∠2＞∠1．（2）∵∠3=∠D+∠2,∠2=∠1+∠B,∴∠3＞∠2＞∠1.方法总结：大于针对训练：解：（1）∠2=140°，∠1=40°（2）∠1=18°，∠2=130°探究点3：三角形的外角和想一想：解法一：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，又因为∠1+∠2+∠3=180°，而∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=180×2=360°.解法二：∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3=180°，∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，而∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.解法三：过点A作AM平行于BC．解：因为AM∥BC,所以∠EAM=∠ACD，∠CBF=∠EAF.又∵∠1+∠4+∠MAB=360°.∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°要点归纳：36探究点4：三角形内角和定理与外角性质的应用典例精析例5解：∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB,∠BDE+∠B=180°.∠A＝50°，∠B＝70°.∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-70°=60°.,又∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=30°.∴∠EDC=30°.∠BDC+∠EDC+∠B=180°，∴∠BDC=180°-30°-70°=80°.二、课堂小结180互余360°第8页共8页 当堂检测1．解（1）x=70（2）x=60（3）x=30（4）x=502（1）×（2）√（3）×（4）√（5）×3A4．280°5．解：∵∠B=45°，∠BCE=20°，，∴∠BDC=180°-45°-20°=115°.又∵∠BDC=∠BAE+∠AED=115°.∴∠AED=∠BDC-∠BAE=115°-36°=79°.∴∠AEC=180°-79°=101°.6．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE.∴∠B=∠DEC=78°.又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-60°-78°=42°.第8页共8页